Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrnsigau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrnsigau 33113
Description: The property of being a sigma-algebra, universe is the union set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
isrnsigau (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑆

Proof of Theorem isrnsigau
StepHypRef Expression
1 sgon 33110 . 2 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆))
2 elex 3492 . . 3 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ V)
3 issiga 33098 . . 3 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆) ↔ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
42, 3syl 17 . 2 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆) ↔ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
51, 4mpbid 231 1 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  Ο‰com 7851   β‰Ό cdom 8933  sigAlgebracsiga 33094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548  df-siga 33095
This theorem is referenced by:  sigaclci  33118  difelsiga  33119  unelsiga  33120  cntmeas  33212  probfinmeasbALTV  33416
  Copyright terms: Public domain W3C validator