Theorem cntmeas 34390

Description: The Counting measure is a measure on any sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cntmeas	⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem cntmeas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf2 34248	. . . 4 ⊢ ♯:V⟶(0[,]+∞)
2		ssv 3947	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ V
3		fssres 6702	. . . 4 ⊢ ((♯:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑆 ⊆ V) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	mp2an 693	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
6		0elsiga 34278	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
7		fvres 6855	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
9		hash0 14324	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
11		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		hasheuni 34249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (♯‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
13	11, 12	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → (♯‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
14	13	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (♯‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
15		isrnsigau 34291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
16	15	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)))
17	16	simp3d 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))
18		fvres 6855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥))
19	18	imim2i 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
20	19	ralimi 3075	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
22	21	r19.21bi 3230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥))
24	23	adantrr 718	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥))
25		elpwi 4549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑆)
26	25	sseld 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑆))
27		fvres 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
28	26, 27	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦)))
29	28	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
30	29	esumeq2dv 34202	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
31	30	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
32	14, 24, 31	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦))
33	32	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
34	33	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
35		ismeas 34363	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))))
36	5, 10, 34, 35	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  Disj wdisj 5053   class class class wbr 5086  ran crn 5627   ↾ cres 5628  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ωcom 7812   ≼ cdom 8886  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  [,]cicc 13296  ♯chash 14287  Σ^*cesum 34191  sigAlgebracsiga 34272  measurescmeas 34359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-ordt 17460  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-ps 18527  df-tsr 18528  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-abv 20781  df-lmod 20852  df-scaf 20853  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lp 23115  df-perf 23116  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-haus 23294  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-tmd 24051  df-tgp 24052  df-tsms 24106  df-trg 24139  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-nm 24561  df-ngp 24562  df-nrg 24564  df-nlm 24565  df-ii 24858  df-cncf 24859  df-limc 25847  df-dv 25848  df-log 26537  df-esum 34192  df-siga 34273  df-meas 34360

This theorem is referenced by:  pwcntmeas  34391