Theorem cntmeas 34686

Description: The Counting measure is a measure on any sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cntmeas	⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem cntmeas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf2 34543	. . . 4 ⊢ ♯:V⟶(0[,]+∞)
2		ssv 3962	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ V
3		fssres 6749	. . . 4 ⊢ ((♯:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑆 ⊆ V) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
6		0elsiga 34573	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
7		fvres 6905	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
9		hash0 14426	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
11		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		hasheuni 34544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (♯‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
13	11, 12	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → (♯‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
14	13	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (♯‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
15		isrnsigau 34586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
16	15	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)))
17	16	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))
18		fvres 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥))
19	18	imim2i 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
20	19	ralimi 3104	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
22	21	r19.21bi 3259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
23	22	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥))
24	23	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥))
25		elpwi 4571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑆)
26	25	sseld 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑆))
27		fvres 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
28	26, 27	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦)))
29	28	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
30	29	esumeq2dv 34497	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
31	30	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
32	14, 24, 31	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦))
33	32	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
34	33	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
35		ismeas 34659	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))))
36	5, 10, 34, 35	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4874  Disj wdisj 5078   class class class wbr 5111  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ωcom 7869   ≼ cdom 8948  0cc0 11120  +∞cpnf 11260  [,]cicc 13396  ♯chash 14389  Σ^*cesum 34486  sigAlgebracsiga 34567  measurescmeas 34655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199  ax-mulf 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-fi 9379  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-q 12994  df-rp 13038  df-xneg 13158  df-xadd 13159  df-xmul 13160  df-ioo 13397  df-ioc 13398  df-ico 13399  df-icc 13400  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-fl 13848  df-mod 13926  df-seq 14061  df-exp 14121  df-fac 14333  df-bc 14362  df-hash 14390  df-shft 15133  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-limsup 15551  df-clim 15568  df-rlim 15569  df-sum 15767  df-ef 16148  df-sin 16150  df-cos 16151  df-pi 16153  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-rest 17502  df-topn 17503  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-topgen 17523  df-pt 17524  df-prds 17527  df-ordt 17582  df-xrs 17583  df-qtop 17588  df-imas 17589  df-xps 17591  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-ps 18649  df-tsr 18650  df-plusf 18724  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-mhm 18883  df-submnd 18884  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-mulg 19183  df-subg 19238  df-cntz 19436  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-cring 20367  df-subrng 20700  df-subrg 20724  df-abv 20967  df-lmod 21038  df-scaf 21039  df-sra 21349  df-rgmod 21350  df-psmet 21569  df-xmet 21570  df-met 21571  df-bl 21572  df-mopn 21573  df-fbas 21574  df-fg 21575  df-cnfld 21578  df-top 23106  df-topon 23123  df-topsp 23145  df-bases 23158  df-cld 23231  df-ntr 23232  df-cls 23233  df-nei 23310  df-lp 23348  df-perf 23349  df-cn 23439  df-cnp 23440  df-haus 23527  df-tx 23775  df-hmeo 23968  df-fil 24059  df-fm 24151  df-flim 24152  df-flf 24153  df-tmd 24285  df-tgp 24286  df-tsms 24340  df-trg 24373  df-xms 24533  df-ms 24534  df-tms 24535  df-nm 24795  df-ngp 24796  df-nrg 24798  df-nlm 24799  df-ii 25092  df-cncf 25093  df-limc 26081  df-dv 26082  df-log 26777  df-esum 34487  df-siga 34568  df-meas 34656

This theorem is used by:  pwcntmeas  34687