Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntmeas 34070
Description: The Counting measure is a measure on any sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cntmeas (𝑆 ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem cntmeas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf2 33928 . . . 4 ♯:V⟶(0[,]+∞)
2 ssv 4004 . . . 4 𝑆 ⊆ V
3 fssres 6758 . . . 4 ((♯:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑆 ⊆ V) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3mp2an 690 . . 3 (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)
54a1i 11 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
6 0elsiga 33958 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
7 fvres 6910 . . . 4 (∅ ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
86, 7syl 17 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
9 hash0 14377 . . 3 (♯‘∅) = 0
108, 9eqtrdi 2782 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
11 vex 3467 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
12 hasheuni 33929 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ V ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (♯‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
1311, 12mpan 688 . . . . . 6 (Disj 𝑦𝑥 𝑦 → (♯‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
1413ad2antll 727 . . . . 5 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (♯‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
15 isrnsigau 33971 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 𝑆 ∧ ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
1615simprd 494 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ran sigAlgebra → ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)))
1716simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))
18 fvres 6910 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑥𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥))
1918imim2i 16 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥)))
2019ralimi 3073 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥)))
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥)))
2221r19.21bi 3239 . . . . . . 7 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥)))
2322imp 405 . . . . . 6 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥))
2423adantrr 715 . . . . 5 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥))
25 elpwi 4605 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
2625sseld 3978 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦𝑥𝑦𝑆))
27 fvres 6910 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
2826, 27syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦𝑥 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦)))
2928imp 405 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
3029esumeq2dv 33882 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
3130ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
3214, 24, 313eqtr4d 2776 . . . 4 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦))
3332ex 411 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
3433ralrimiva 3136 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
35 ismeas 34043 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))))
365, 10, 34, 35mpbir3and 1339 1 (𝑆 ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3463  cdif 3944  wss 3947  c0 4323  𝒫 cpw 4598   cuni 4906  Disj wdisj 5111   class class class wbr 5144  ran crn 5674  cres 5675  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  ωcom 7866  cdom 8962  0cc0 11147  +∞cpnf 11284  [,]cicc 13373  chash 14340  Σ*cesum 33871  sigAlgebracsiga 33952  measurescmeas 34039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226  ax-mulf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-disj 5112  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-ioc 13375  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14014  df-exp 14074  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15065  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-limsup 15466  df-clim 15483  df-rlim 15484  df-sum 15684  df-ef 16062  df-sin 16064  df-cos 16065  df-pi 16067  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-rest 17430  df-topn 17431  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-topgen 17451  df-pt 17452  df-prds 17455  df-ordt 17509  df-xrs 17510  df-qtop 17515  df-imas 17516  df-xps 17518  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-ps 18584  df-tsr 18585  df-plusf 18625  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-cring 20213  df-subrng 20522  df-subrg 20547  df-abv 20782  df-lmod 20832  df-scaf 20833  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-fbas 21334  df-fg 21335  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-tmd 24062  df-tgp 24063  df-tsms 24117  df-trg 24150  df-xms 24312  df-ms 24313  df-tms 24314  df-nm 24577  df-ngp 24578  df-nrg 24580  df-nlm 24581  df-ii 24883  df-cncf 24884  df-limc 25881  df-dv 25882  df-log 26578  df-esum 33872  df-siga 33953  df-meas 34040
This theorem is referenced by:  pwcntmeas  34071
  Copyright terms: Public domain W3C validator