Theorem cntmeas 34332

Description: The Counting measure is a measure on any sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cntmeas	⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem cntmeas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf2 34190	. . . 4 ⊢ ♯:V⟶(0[,]+∞)
2		ssv 3956	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ V
3		fssres 6698	. . . 4 ⊢ ((♯:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑆 ⊆ V) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
6		0elsiga 34220	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
7		fvres 6851	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
9		hash0 14288	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2785	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
11		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		hasheuni 34191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (♯‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
13	11, 12	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → (♯‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
14	13	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (♯‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
15		isrnsigau 34233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
16	15	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)))
17	16	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))
18		fvres 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥))
19	18	imim2i 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
20	19	ralimi 3071	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
22	21	r19.21bi 3226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥)))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥))
24	23	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = (♯‘∪ 𝑥))
25		elpwi 4559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑆)
26	25	sseld 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑆))
27		fvres 6851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
28	26, 27	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦)))
29	28	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
30	29	esumeq2dv 34144	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
31	30	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(♯‘𝑦))
32	14, 24, 31	3eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦))
33	32	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
34	33	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
35		ismeas 34305	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))))
36	5, 10, 34, 35	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4861  Disj wdisj 5063   class class class wbr 5096  ran crn 5623   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ωcom 7806   ≼ cdom 8879  0cc0 11024  +∞cpnf 11161  [,]cicc 13262  ♯chash 14251  Σ^*cesum 34133  sigAlgebracsiga 34214  measurescmeas 34301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-ordt 17420  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-abv 20740  df-lmod 20811  df-scaf 20812  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-tmd 24014  df-tgp 24015  df-tsms 24069  df-trg 24102  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-nm 24524  df-ngp 24525  df-nrg 24527  df-nlm 24528  df-ii 24824  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-esum 34134  df-siga 34215  df-meas 34302

This theorem is referenced by:  pwcntmeas  34333