Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntmeas 30887
 Description: The Counting measure is a measure on any sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cntmeas (𝑆 ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem cntmeas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf2 30744 . . . 4 ♯:V⟶(0[,]+∞)
2 ssv 3844 . . . 4 𝑆 ⊆ V
3 fssres 6320 . . . 4 ((♯:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑆 ⊆ V) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3mp2an 682 . . 3 (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)
54a1i 11 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
6 0elsiga 30775 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
7 fvres 6465 . . . 4 (∅ ∈ 𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
86, 7syl 17 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = (♯‘∅))
9 hash0 13473 . . 3 (♯‘∅) = 0
108, 9syl6eq 2830 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
11 vex 3401 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
12 hasheuni 30745 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ V ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (♯‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
1311, 12mpan 680 . . . . . 6 (Disj 𝑦𝑥 𝑦 → (♯‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
1413ad2antll 719 . . . . 5 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (♯‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
15 isrnsigau 30788 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 𝑆 ∧ ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
1615simprd 491 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ran sigAlgebra → ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)))
1716simp3d 1135 . . . . . . . . 9 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))
18 fvres 6465 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑥𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥))
1918imim2i 16 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥)))
2019ralimi 3134 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥)))
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥)))
2221r19.21bi 3114 . . . . . . 7 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥)))
2322imp 397 . . . . . 6 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥))
2423adantrr 707 . . . . 5 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (♯‘ 𝑥))
25 elpwi 4389 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
2625sseld 3820 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦𝑥𝑦𝑆))
27 fvres 6465 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑆 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
2826, 27syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦𝑥 → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦)))
2928imp 397 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) → ((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = (♯‘𝑦))
3029esumeq2dv 30698 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
3130ad2antlr 717 . . . . 5 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦𝑥(♯‘𝑦))
3214, 24, 313eqtr4d 2824 . . . 4 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦))
3332ex 403 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
3433ralrimiva 3148 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))
35 ismeas 30860 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ((♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((♯ ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((♯ ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((♯ ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((♯ ↾ 𝑆)‘𝑦)))))
365, 10, 34, 35mpbir3and 1399 1 (𝑆 ran sigAlgebra → (♯ ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  𝒫 cpw 4379  ∪ cuni 4671  Disj wdisj 4854   class class class wbr 4886  ran crn 5356   ↾ cres 5357  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ωcom 7343   ≼ cdom 8239  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  [,]cicc 12490  ♯chash 13435  Σ*cesum 30687  sigAlgebracsiga 30768  measurescmeas 30856 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-ordt 16547  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-ps 17586  df-tsr 17587  df-plusf 17627  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-abv 19209  df-lmod 19257  df-scaf 19258  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-tmd 22284  df-tgp 22285  df-tsms 22338  df-trg 22371  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nrg 22798  df-nlm 22799  df-ii 23088  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-esum 30688  df-siga 30769  df-meas 30857 This theorem is referenced by:  pwcntmeas  30888
 Copyright terms: Public domain W3C validator