Theorem difelsiga 34164

Description: A sigma-algebra is closed under class differences. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
difelsiga	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem difelsiga

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		elssuni 4913	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
3		difin2 4276	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
5		isrnsigau 34158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆))))
6	5	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)))
7	6	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
8		difeq2 4095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) = (∪ 𝑆 ∖ 𝐵))
9	8	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆))
10	9	rspccva 3600	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
11	7, 10	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
12	11	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
13		intprg 4957	. . . 4 ⊢ (((∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∩ {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} = ((∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
14	12, 1, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} = ((∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
15	4, 14	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝐵) = ∩ {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴})
16		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
17		prssi 4797	. . . . 5 ⊢ (((∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ⊆ 𝑆)
18	12, 1, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ⊆ 𝑆)
19		prex 5407	. . . . 5 ⊢ {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ∈ V
20	19	elpw 4579	. . . 4 ⊢ ({(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ⊆ 𝑆)
21	18, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆)
22		prct 32692	. . . 4 ⊢ (((∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ≼ ω)
23	12, 1, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ≼ ω)
24		prnzg 4754	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 → {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ≠ ∅)
25	12, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ≠ ∅)
26		sigaclci 34163	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆) ∧ ({(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ≼ ω ∧ {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ≠ ∅)) → ∩ {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ∈ 𝑆)
27	16, 21, 23, 25, 26	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {(∪ 𝑆 ∖ 𝐵), 𝐴} ∈ 𝑆)
28	15, 27	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  {cpr 4603  ∪ cuni 4883  ∩ cint 4922   class class class wbr 5119  ran crn 5655  ωcom 7861   ≼ cdom 8957  sigAlgebracsiga 34139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-ac2 10477

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-siga 34140

This theorem is referenced by:  inelsiga  34166  sigainb  34167  sigaldsys  34190  cldssbrsiga  34218  measxun2  34241  measssd  34246  measunl  34247  measiuns  34248  measiun  34249  meascnbl  34250  imambfm  34294  dya2iocbrsiga  34307  dya2icobrsiga  34308  sxbrsigalem2  34318  probdif  34452