Theorem probfinmeasbALTV 35114

Description: Alternate version of probfinmeasb 35113. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
probfinmeasbALTV	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probfinmeasbALTV

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measdivcstALTV 34911	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ (measures‘𝑆))
2		ovex 7460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ V
3	2	rgenw 3083	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ V
4		dmmptg 6249	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) = 𝑆)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) = 𝑆
6	5	fveq2i 6896	. . . 4 ⊢ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))) = (measures‘𝑆)
7	1, 6	eleqtrrdi 2874	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))))
8		measbasedom 34888	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))))
9	7, 8	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ ∪ ran measures)
10	5	unieqi 4881	. . . 4 ⊢ ∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) = ∪ 𝑆
11	10	fveq2i 6896	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆)
12		measbase 34883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		isrnsigau 34812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))))
14	13	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)))
15	14	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
16	12, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
17		id 23	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+)
18	17, 17	rpxdivcld 33553	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ℝ+)
19	16, 18	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∪ 𝑆) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ℝ+))
20		fveq2 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑆 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑆))
21	20	oveq1d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑆 → ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))
22		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))
23	21, 22	fvmptg 6999	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∪ 𝑆) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))
24	19, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))
25		rpre 13139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ)
26		rpne0 13147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0)
27		xdivid 33547	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
28	25, 26, 27	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
29	28	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /e (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
30	24, 29	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆) = 1)
31	11, 30	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))) = 1)
32		elprob 35094	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ Prob ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆)))) = 1))
33	9, 31, 32	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /e (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ Prob)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∖ cdif 4047  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4869   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5654  ran crn 5655  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ωcom 7884   ≼ cdom 8982  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211  ℝ⁺crp 13130   /_e cxdiv 33536  sigAlgebracsiga 34793  measurescmeas 34881  Probcprb 35092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ioc 13491  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-ordt 17685  df-xrs 17686  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-ps 18752  df-tsr 18753  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-ntr 23350  df-nei 23428  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-haus 23645  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-tsms 24458  df-xdiv 33537  df-esum 34713  df-siga 34794  df-meas 34882  df-prob 35093

This theorem is used by: (None)