Theorem probfinmeasbALTV 31966

Description: Alternate version of probfinmeasb 31965. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
probfinmeasbALTV	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probfinmeasbALTV

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measdivcstALTV 31763	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ (measures‘𝑆))
2		ovex 7203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ V
3	2	rgenw 3065	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ V
4		dmmptg 6074	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 𝑆)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 𝑆
6	5	fveq2i 6677	. . . 4 ⊢ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))) = (measures‘𝑆)
7	1, 6	eleqtrrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))))
8		measbasedom 31740	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))))
9	7, 8	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ ∪ ran measures)
10	5	unieqi 4809	. . . 4 ⊢ ∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = ∪ 𝑆
11	10	fveq2i 6677	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆)
12		measbase 31735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		isrnsigau 31665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))))
14	13	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)))
15	14	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+)
18	17, 17	rpxdivcld 30783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ℝ+)
19	16, 18	anim12i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ℝ+))
20		fveq2 6674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑆 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑆))
21	20	oveq1d 7185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑆 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
22		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
23	21, 22	fvmptg 6773	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
25		rpre 12480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ)
26		rpne0 12488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0)
27		xdivid 30777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
28	25, 26, 27	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
29	28	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
30	24, 29	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆) = 1)
31	11, 30	syl5eq 2785	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))) = 1)
32		elprob 31946	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ Prob ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))) = 1))
33	9, 31, 32	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  Vcvv 3398   ∖ cdif 3840   ⊆ wss 3843  𝒫 cpw 4488  ∪ cuni 4796   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5525  ran crn 5526  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ωcom 7599   ≼ cdom 8553  ℝcr 10614  0cc0 10615  1c1 10616  ℝ⁺crp 12472   /_𝑒 cxdiv 30766  sigAlgebracsiga 31646  measurescmeas 31733  Probcprb 31944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-ordt 16877  df-xrs 16878  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-ps 17926  df-tsr 17927  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-ntr 21771  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-tsms 22878  df-xdiv 30767  df-esum 31566  df-siga 31647  df-meas 31734  df-prob 31945

This theorem is referenced by: (None)