Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probfinmeasbALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probfinmeasbALTV 34054
Description: Alternate version of probfinmeasb 34053. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasbALTV ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ Prob)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probfinmeasbALTV
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measdivcstALTV 33849 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ (measures‘𝑆))
2 ovex 7457 . . . . . . 7 ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ V
32rgenw 3061 . . . . . 6 𝑥𝑆 ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ V
4 dmmptg 6249 . . . . . 6 (∀𝑥𝑆 ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ V → dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 𝑆)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 𝑆
65fveq2i 6903 . . . 4 (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))) = (measures‘𝑆)
71, 6eleqtrrdi 2839 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))))
8 measbasedom 33826 . . 3 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ ran measures ↔ (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))))
97, 8sylibr 233 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ ran measures)
105unieqi 4922 . . . 4 dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 𝑆
1110fveq2i 6903 . . 3 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))) = ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ 𝑆)
12 measbase 33821 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
13 isrnsigau 33751 . . . . . . . . 9 (𝑆 ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 𝑆 ∧ ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))))
1413simprd 494 . . . . . . . 8 (𝑆 ran sigAlgebra → ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)))
1514simp1d 1139 . . . . . . 7 (𝑆 ran sigAlgebra → 𝑆𝑆)
1612, 15syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆𝑆)
17 id 22 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+)
1817, 17rpxdivcld 32675 . . . . . 6 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ℝ+)
1916, 18anim12i 611 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ( 𝑆𝑆 ∧ ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ℝ+))
20 fveq2 6900 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → (𝑀𝑥) = (𝑀 𝑆))
2120oveq1d 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
22 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
2321, 22fvmptg 7006 . . . . 5 (( 𝑆𝑆 ∧ ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
25 rpre 13020 . . . . . 6 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ)
26 rpne0 13028 . . . . . 6 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ≠ 0)
27 xdivid 32669 . . . . . 6 (((𝑀 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2825, 26, 27syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2928adantl 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
3024, 29eqtrd 2767 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ 𝑆) = 1)
3111, 30eqtrid 2779 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))) = 1)
32 elprob 34034 . 2 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ Prob ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ ran measures ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))) = 1))
339, 31, 32sylanbrc 581 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  wral 3057  Vcvv 3471  cdif 3944  wss 3947  𝒫 cpw 4604   cuni 4910   class class class wbr 5150  cmpt 5233  dom cdm 5680  ran crn 5681  cfv 6551  (class class class)co 7424  ωcom 7874  cdom 8966  cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145  +crp 13012   /𝑒 cxdiv 32658  sigAlgebracsiga 33732  measurescmeas 33819  Probcprb 34032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5116  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-ordt 17488  df-xrs 17489  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-ps 18563  df-tsr 18564  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-ntr 22942  df-nei 23020  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-tsms 24049  df-xdiv 32659  df-esum 33652  df-siga 33733  df-meas 33820  df-prob 34033
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator