Theorem probfinmeasbALTV 34394

Description: Alternate version of probfinmeasb 34393. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
probfinmeasbALTV	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probfinmeasbALTV

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measdivcstALTV 34189	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ (measures‘𝑆))
2		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ V
3	2	rgenw 3071	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ V
4		dmmptg 6273	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 𝑆)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 𝑆
6	5	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))) = (measures‘𝑆)
7	1, 6	eleqtrrdi 2855	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))))
8		measbasedom 34166	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))))
9	7, 8	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ ∪ ran measures)
10	5	unieqi 4943	. . . 4 ⊢ ∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = ∪ 𝑆
11	10	fveq2i 6923	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆)
12		measbase 34161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		isrnsigau 34091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑆 ∧ (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))))
14	13	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)))
15	14	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+)
18	17, 17	rpxdivcld 32898	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ℝ+)
19	16, 18	anim12i 612	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ℝ+))
20		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑆 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑆))
21	20	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑆 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
22		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
23	21, 22	fvmptg 7027	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
25		rpre 13065	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ)
26		rpne0 13073	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0)
27		xdivid 32892	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
28	25, 26, 27	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
30	24, 29	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ 𝑆) = 1)
31	11, 30	eqtrid 2792	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))) = 1)
32		elprob 34374	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ Prob ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))) = 1))
33	9, 31, 32	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≼ cdom 9001  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ℝ⁺crp 13057   /_𝑒 cxdiv 32881  sigAlgebracsiga 34072  measurescmeas 34159  Probcprb 34372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-ntr 23049  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tsms 24156  df-xdiv 32882  df-esum 33992  df-siga 34073  df-meas 34160  df-prob 34373

This theorem is referenced by: (None)