Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probfinmeasbALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probfinmeasbALTV 33985
Description: Alternate version of probfinmeasb 33984. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasbALTV ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ Prob)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆

Proof of Theorem probfinmeasbALTV
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measdivcstALTV 33780 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 ovex 7447 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ V
32rgenw 3060 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ V
4 dmmptg 6240 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = 𝑆)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = 𝑆
65fveq2i 6894 . . . 4 (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))) = (measuresβ€˜π‘†)
71, 6eleqtrrdi 2839 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))))
8 measbasedom 33757 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ βˆͺ ran measures ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))))
97, 8sylibr 233 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ βˆͺ ran measures)
105unieqi 4915 . . . 4 βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = βˆͺ 𝑆
1110fveq2i 6894 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ 𝑆)
12 measbase 33752 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
13 isrnsigau 33682 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆))))
1413simprd 495 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆)))
1514simp1d 1140 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
1612, 15syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
17 id 22 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+)
1817, 17rpxdivcld 32639 . . . . . 6 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ ℝ+)
1916, 18anim12i 612 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ ℝ+))
20 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))
2120oveq1d 7429 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆͺ 𝑆 β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
22 eqid 2727 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
2321, 22fvmptg 6997 . . . . 5 ((βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ 𝑆) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ 𝑆) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
25 rpre 13006 . . . . . 6 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ)
26 rpne0 13014 . . . . . 6 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) β‰  0)
27 xdivid 32633 . . . . . 6 (((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) β‰  0) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 1)
2825, 26, 27syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 1)
2928adantl 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 1)
3024, 29eqtrd 2767 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ 𝑆) = 1)
3111, 30eqtrid 2779 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))) = 1)
32 elprob 33965 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ Prob ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ βˆͺ ran measures ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))) = 1))
339, 31, 32sylanbrc 582 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Ο‰com 7864   β‰Ό cdom 8953  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131  β„+crp 12998   /𝑒 cxdiv 32622  sigAlgebracsiga 33663  measurescmeas 33750  Probcprb 33963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-ordt 17474  df-xrs 17475  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-ps 18549  df-tsr 18550  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-ntr 22911  df-nei 22989  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-tsms 24018  df-xdiv 32623  df-esum 33583  df-siga 33664  df-meas 33751  df-prob 33964
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator