Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probfinmeasbALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probfinmeasbALTV 33069
Description: Alternate version of probfinmeasb 33068. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasbALTV ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ Prob)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆

Proof of Theorem probfinmeasbALTV
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measdivcstALTV 32864 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 ovex 7395 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ V
32rgenw 3069 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ V
4 dmmptg 6199 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = 𝑆)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = 𝑆
65fveq2i 6850 . . . 4 (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))) = (measuresβ€˜π‘†)
71, 6eleqtrrdi 2849 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))))
8 measbasedom 32841 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ βˆͺ ran measures ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))))
97, 8sylibr 233 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ βˆͺ ran measures)
105unieqi 4883 . . . 4 βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = βˆͺ 𝑆
1110fveq2i 6850 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ 𝑆)
12 measbase 32836 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
13 isrnsigau 32766 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆))))
1413simprd 497 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆)))
1514simp1d 1143 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
1612, 15syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
17 id 22 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+)
1817, 17rpxdivcld 31832 . . . . . 6 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ ℝ+)
1916, 18anim12i 614 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ ℝ+))
20 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))
2120oveq1d 7377 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆͺ 𝑆 β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
22 eqid 2737 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
2321, 22fvmptg 6951 . . . . 5 ((βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ 𝑆) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ 𝑆) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
25 rpre 12930 . . . . . 6 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ)
26 rpne0 12938 . . . . . 6 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) β‰  0)
27 xdivid 31826 . . . . . 6 (((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) β‰  0) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 1)
2825, 26, 27syl2anc 585 . . . . 5 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 1)
2928adantl 483 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 1)
3024, 29eqtrd 2777 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ 𝑆) = 1)
3111, 30eqtrid 2789 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))) = 1)
32 elprob 33049 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ Prob ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ βˆͺ ran measures ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))β€˜βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))) = 1))
339, 31, 32sylanbrc 584 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰Ό cdom 8888  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  β„+crp 12922   /𝑒 cxdiv 31815  sigAlgebracsiga 32747  measurescmeas 32834  Probcprb 33047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-xdiv 31816  df-esum 32667  df-siga 32748  df-meas 32835  df-prob 33048
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator