MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxin 13404
Description: Intersection of two intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxin.2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧 ↔ (𝐴𝑅𝑧𝐶𝑅𝑧)))
ixxin.3 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝑧𝑆𝐵𝑧𝑆𝐷)))
Assertion
Ref Expression
ixxin (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐶𝑂𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑂if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxin
StepHypRef Expression
1 inrab 4316 . . 3 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑆𝐷)}) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵) ∧ (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑆𝐷))}
2 ixx.1 . . . . 5 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
32ixxval 13395 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)})
42ixxval 13395 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶𝑂𝐷) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑆𝐷)})
53, 4ineqan12d 4222 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐶𝑂𝐷)) = ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑆𝐷)}))
6 ixxin.2 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧 ↔ (𝐴𝑅𝑧𝐶𝑅𝑧)))
76ad4ant124 1174 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧 ↔ (𝐴𝑅𝑧𝐶𝑅𝑧)))
8 ixxin.3 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝑧𝑆𝐵𝑧𝑆𝐷)))
983expb 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝑧𝑆𝐵𝑧𝑆𝐷)))
109ancoms 458 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝑧𝑆𝐵𝑧𝑆𝐷)))
1110adantll 714 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝑧𝑆𝐵𝑧𝑆𝐷)))
127, 11anbi12d 632 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ↔ ((𝐴𝑅𝑧𝐶𝑅𝑧) ∧ (𝑧𝑆𝐵𝑧𝑆𝐷))))
13 an4 656 . . . . . 6 (((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵) ∧ (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑆𝐷)) ↔ ((𝐴𝑅𝑧𝐶𝑅𝑧) ∧ (𝑧𝑆𝐵𝑧𝑆𝐷)))
1412, 13bitr4di 289 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) ↔ ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵) ∧ (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑆𝐷))))
1514rabbidva 3443 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵) ∧ (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑆𝐷))})
1615an4s 660 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵) ∧ (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑆𝐷))})
171, 5, 163eqtr4a 2803 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐶𝑂𝐷)) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷))})
18 ifcl 4571 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*)
1918ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*)
20 ifcl 4571 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ∈ ℝ*)
212ixxval 13395 . . . 4 ((if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ* ∧ if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷) ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑂if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷))})
2219, 20, 21syl2an 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑂if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷))})
2322an4s 660 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑂if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑅𝑧𝑧𝑆if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷))})
2417, 23eqtr4d 2780 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐶𝑂𝐷)) = (if(𝐴𝐶, 𝐶, 𝐴)𝑂if(𝐵𝐷, 𝐵, 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  cin 3950  ifcif 4525   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cmpo 7433  *cxr 11294  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-xr 11299
This theorem is referenced by:  iooin  13421  itgspliticc  25872  cvmliftlem10  35299  iccin  48794
  Copyright terms: Public domain W3C validator