Theorem itgspliticc 25814

Description: The ∫ integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgspliticc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgspliticc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgspliticc.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgspliticc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
itgspliticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgspliticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgspliticc	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgspliticc

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgspliticc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		itgspliticc.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4		itgspliticc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		elicc2 13355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
6	1, 4, 5	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
7	3, 6	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
8	7	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	4	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		df-icc 13296	. . . . . . 7 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		xrmaxle 13126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
13		xrlemin 13127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑧 ≤ 𝐶)))
14	11, 12, 13	ixxin 13306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
15	2, 9, 9, 10, 14	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
16	7	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
17	16	iftrued 4475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
18	7	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
19	18	iftrued 4475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
20	17, 19	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)) = (𝐵[,]𝐵))
21		iccid 13334	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
22	9, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
23	15, 20, 22	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})
24	23	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = (vol*‘{𝐵}))
25		ovolsn 25472	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
26	8, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘{𝐵}) = 0)
27	24, 26	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = 0)
28		iccsplit 13429	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
29	1, 4, 3, 28	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
30		itgspliticc.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
31		itgspliticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
32		itgspliticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
33	27, 29, 30, 31, 32	itgsplit 25813	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  [,]cicc 13292  vol*covol 25439  𝐿¹cibl 25594  ∫citg 25595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-cmp 23362  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-itg1 25597  df-itg2 25598  df-ibl 25599  df-itg 25600

This theorem is referenced by:  itgspltprt  46425  fourierdlem107  46659