Theorem itgspliticc 25957

Description: The ∫ integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgspliticc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgspliticc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgspliticc.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgspliticc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
itgspliticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgspliticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgspliticc	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgspliticc

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgspliticc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		itgspliticc.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4		itgspliticc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		elicc2 13429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
6	1, 4, 5	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
7	3, 6	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
8	7	simp1d 1158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	4	rexrd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		df-icc 13370	. . . . . . 7 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		xrmaxle 13200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
13		xrlemin 13201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑧 ≤ 𝐶)))
14	11, 12, 13	ixxin 13380	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
15	2, 9, 9, 10, 14	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
16	7	simp2d 1159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
17	16	iftrued 4491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
18	7	simp3d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
19	18	iftrued 4491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
20	17, 19	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)) = (𝐵[,]𝐵))
21		iccid 13408	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
22	9, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
23	15, 20, 22	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})
24	23	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = (vol*‘{𝐵}))
25		ovolsn 25615	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
26	8, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘{𝐵}) = 0)
27	24, 26	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = 0)
28		iccsplit 13503	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
29	1, 4, 3, 28	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
30		itgspliticc.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
31		itgspliticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
32		itgspliticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
33	27, 29, 30, 31, 32	itgsplit 25956	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3905   ∩ cin 3906  ifcif 4483  {csn 4585   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232  [,]cicc 13366  vol*covol 25582  𝐿¹cibl 25737  ∫citg 25738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-cmp 23505  df-ovol 25584  df-vol 25585  df-mbf 25739  df-itg1 25740  df-itg2 25741  df-ibl 25742  df-itg 25743

This theorem is referenced by:  itgspltprt  46551  fourierdlem107  46785