MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgspliticc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgspliticc 24438
Description: The integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgspliticc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgspliticc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgspliticc.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgspliticc.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷𝑉)
itgspliticc.5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgspliticc.6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgspliticc (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgspliticc
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgspliticc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 10685 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 itgspliticc.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4 itgspliticc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 elicc2 12797 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
61, 4, 5syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
73, 6mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶))
87simp1d 1139 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10685 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
104rexrd 10685 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
11 df-icc 12740 . . . . . . 7 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
12 xrmaxle 12571 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐴𝑧𝐵𝑧)))
13 xrlemin 12572 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝑧𝐵𝑧𝐶)))
1411, 12, 13ixxin 12750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
152, 9, 9, 10, 14syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
167simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1716iftrued 4458 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
187simp3d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
1918iftrued 4458 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
2017, 19oveq12d 7164 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)) = (𝐵[,]𝐵))
21 iccid 12778 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
229, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
2315, 20, 223eqtrd 2863 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})
2423fveq2d 6663 . . 3 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = (vol*‘{𝐵}))
25 ovolsn 24097 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
268, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (vol*‘{𝐵}) = 0)
2724, 26eqtrd 2859 . 2 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = 0)
28 iccsplit 12870 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
291, 4, 3, 28syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
30 itgspliticc.4 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷𝑉)
31 itgspliticc.5 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
32 itgspliticc.6 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
3327, 29, 30, 31, 32itgsplit 24437 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cun 3917  cin 3918  ifcif 4450  {csn 4550   class class class wbr 5053  cmpt 5133  cfv 6344  (class class class)co 7146  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534  *cxr 10668  cle 10670  [,]cicc 12736  vol*covol 24064  𝐿1cibl 24219  citg 24220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-sum 15041  df-rest 16694  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cmp 21990  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-mbf 24221  df-itg1 24222  df-itg2 24223  df-ibl 24224  df-itg 24225
This theorem is referenced by:  itgspltprt  42487  fourierdlem107  42721
  Copyright terms: Public domain W3C validator