Theorem itgspliticc 25829

Description: The ∫ integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgspliticc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgspliticc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgspliticc.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgspliticc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
itgspliticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgspliticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgspliticc	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgspliticc

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgspliticc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		itgspliticc.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4		itgspliticc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		elicc2 13362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
6	1, 4, 5	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
7	3, 6	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
8	7	simp1d 1148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	4	rexrd 11193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		df-icc 13303	. . . . . . 7 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		xrmaxle 13133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
13		xrlemin 13134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑧 ≤ 𝐶)))
14	11, 12, 13	ixxin 13313	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
15	2, 9, 9, 10, 14	syl22anc 844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
16	7	simp2d 1149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
17	16	iftrued 4469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
18	7	simp3d 1150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
19	18	iftrued 4469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
20	17, 19	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)) = (𝐵[,]𝐵))
21		iccid 13341	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
22	9, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
23	15, 20, 22	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})
24	23	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = (vol*‘{𝐵}))
25		ovolsn 25487	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
26	8, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘{𝐵}) = 0)
27	24, 26	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = 0)
28		iccsplit 13436	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
29	1, 4, 3, 28	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
30		itgspliticc.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
31		itgspliticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
32		itgspliticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
33	27, 29, 30, 31, 32	itgsplit 25828	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ifcif 4461  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178  [,]cicc 13299  vol*covol 25454  𝐿¹cibl 25609  ∫citg 25610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-disj 5047  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-rest 17383  df-topgen 17404  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22936  df-cmp 23377  df-ovol 25456  df-vol 25457  df-mbf 25611  df-itg1 25612  df-itg2 25613  df-ibl 25614  df-itg 25615

This theorem is referenced by:  itgspltprt  46429  fourierdlem107  46663