Theorem itgspliticc 25977

Description: The ∫ integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgspliticc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgspliticc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgspliticc.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgspliticc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
itgspliticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgspliticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgspliticc	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgspliticc

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgspliticc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		itgspliticc.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4		itgspliticc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		elicc2 13439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
6	1, 4, 5	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
7	3, 6	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
8	7	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	4	rexrd 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		df-icc 13380	. . . . . . 7 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		xrmaxle 13210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
13		xrlemin 13211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑧 ≤ 𝐶)))
14	11, 12, 13	ixxin 13390	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
15	2, 9, 9, 10, 14	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
16	7	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
17	16	iftrued 4496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
18	7	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
19	18	iftrued 4496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
20	17, 19	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)) = (𝐵[,]𝐵))
21		iccid 13418	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
22	9, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
23	15, 20, 22	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})
24	23	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = (vol*‘{𝐵}))
25		ovolsn 25635	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
26	8, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘{𝐵}) = 0)
27	24, 26	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = 0)
28		iccsplit 13513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
29	1, 4, 3, 28	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
30		itgspliticc.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
31		itgspliticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
32		itgspliticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
33	27, 29, 30, 31, 32	itgsplit 25976	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ifcif 4488  {csn 4590   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101   + caddc 11104  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  [,]cicc 13376  vol*covol 25602  𝐿¹cibl 25757  ∫citg 25758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-cmp 23525  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759  df-itg1 25760  df-itg2 25761  df-ibl 25762  df-itg 25763

This theorem is referenced by:  itgspltprt  46673  fourierdlem107  46907