Theorem itgspliticc 26033

Description: The ∫ integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgspliticc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgspliticc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgspliticc.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgspliticc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
itgspliticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgspliticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgspliticc	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgspliticc

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgspliticc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		itgspliticc.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4		itgspliticc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		elicc2 13456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
6	1, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
7	3, 6	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
8	7	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	4	rexrd 11277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		df-icc 13397	. . . . . . 7 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		xrmaxle 13227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐴 ≤ 𝑧 ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
13		xrlemin 13228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑧 ≤ 𝐶)))
14	11, 12, 13	ixxin 13407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
15	2, 9, 9, 10, 14	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)))
16	7	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
17	16	iftrued 4500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
18	7	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
19	18	iftrued 4500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
20	17, 19	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵 ≤ 𝐶, 𝐵, 𝐶)) = (𝐵[,]𝐵))
21		iccid 13435	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
22	9, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
23	15, 20, 22	3eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})
24	23	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = (vol*‘{𝐵}))
25		ovolsn 25691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
26	8, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘{𝐵}) = 0)
27	24, 26	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = 0)
28		iccsplit 13530	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
29	1, 4, 3, 28	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
30		itgspliticc.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
31		itgspliticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
32		itgspliticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
33	27, 29, 30, 31, 32	itgsplit 26032	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118   + caddc 11121  ℝ^*cxr 11260   ≤ cle 11262  [,]cicc 13393  vol*covol 25658  𝐿¹cibl 25813  ∫citg 25814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-cmp 23581  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815  df-itg1 25816  df-itg2 25817  df-ibl 25818  df-itg 25819

This theorem is used by:  itgspltprt  46734  fourierdlem107  46968