Theorem iooin 13307

Description: Intersection of two open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iooin	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)))

Proof of Theorem iooin

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13277	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		xrmaxlt 13108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝑧 ↔ (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝐶 < 𝑧)))
3		xrltmin 13109	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧 < if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷) ↔ (𝑧 < 𝐵 ∧ 𝑧 < 𝐷)))
4	1, 2, 3	ixxin 13290	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902  ifcif 4481   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  (,)cioo 13273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ioo 13277

This theorem is referenced by:  qtopbaslem  24714  tgioo  24752  uniioombllem2a  25551  ismbfd  25608  lhop2  25988  itg2gt0cn  37926  ioondisj2  45853  ioondisj1  45854  lptioo2  45991  lptioo1  45992  fouriersw  46589