MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxun 13403
Description: Split an interval into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxun.2 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
ixxun.3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
ixxun.4 𝑄 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑈𝑦)})
ixxun.5 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑆𝐵𝐵𝑋𝐶) → 𝑤𝑈𝐶))
ixxun.6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐵𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
Assertion
Ref Expression
ixxun (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) = (𝐴𝑄𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂   𝑤,𝑄   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxun
StepHypRef Expression
1 elun 4153 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
2 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 ixx.1 . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
54elixx1 13396 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
62, 3, 5syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
76biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵))
87simp1d 1143 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
97simp2d 1144 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
107simp3d 1145 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
11 simplrr 778 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵𝑋𝐶)
123adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
15 ixxun.5 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑆𝐵𝐵𝑋𝐶) → 𝑤𝑈𝐶))
168, 12, 14, 15syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → ((𝑤𝑆𝐵𝐵𝑋𝐶) → 𝑤𝑈𝐶))
1710, 11, 16mp2and 699 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑈𝐶)
188, 9, 173jca 1129 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑈𝐶))
19 ixxun.2 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
2019elixx1 13396 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐵𝑇𝑤𝑤𝑈𝐶)))
213, 13, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐵𝑇𝑤𝑤𝑈𝐶)))
2221biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐵𝑇𝑤𝑤𝑈𝐶))
2322simp1d 1143 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
24 simplrl 777 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴𝑊𝐵)
2522simp2d 1144 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵𝑇𝑤)
262adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
273adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28 ixxun.6 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐵𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
2926, 27, 23, 28syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → ((𝐴𝑊𝐵𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
3024, 25, 29mp2and 699 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴𝑅𝑤)
3122simp3d 1145 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤𝑈𝐶)
3223, 30, 313jca 1129 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑈𝐶))
3318, 32jaodan 960 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑈𝐶))
34 ixxun.4 . . . . . . . 8 𝑄 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑈𝑦)})
3534elixx1 13396 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑈𝐶)))
362, 13, 35syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑈𝐶)))
3736biimpar 477 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑈𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶))
3833, 37syldan 591 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶))
39 exmid 895 . . . . 5 (𝑤𝑆𝐵 ∨ ¬ 𝑤𝑆𝐵)
4036biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑈𝐶))
4140simp1d 1143 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
4240simp2d 1144 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝐴𝑅𝑤)
4341, 42jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤))
44 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) ↔ ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤) ∧ 𝑤𝑆𝐵))
456, 44bitrdi 287 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤) ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤) ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
4743, 46mpbirand 707 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ 𝑤𝑆𝐵))
48 3anan12 1096 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵𝑇𝑤𝑤𝑈𝐶) ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ*𝑤𝑈𝐶)))
4921, 48bitrdi 287 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ*𝑤𝑈𝐶))))
5049adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ*𝑤𝑈𝐶))))
5140simp3d 1145 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝑤𝑈𝐶)
5241, 51jca 511 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝑤𝑈𝐶))
5352biantrud 531 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ*𝑤𝑈𝐶))))
543adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
55 ixxun.3 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
5654, 41, 55syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
5750, 53, 563bitr2d 307 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
5847, 57orbi12d 919 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → ((𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ (𝑤𝑆𝐵 ∨ ¬ 𝑤𝑆𝐵)))
5939, 58mpbiri 258 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
6038, 59impbida 801 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → ((𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)))
611, 60bitrid 283 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)))
6261eqrdv 2735 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵𝐵𝑋𝐶)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) = (𝐴𝑄𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  cun 3949   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cmpo 7433  *cxr 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-xr 11299
This theorem is referenced by:  icoun  13515  ioounsn  13517  snunioo  13518  snunico  13519  snunioc  13520  ioojoin  13523  leordtval2  23220  lecldbas  23227  icopnfcld  24788  iocmnfcld  24789  ioombl  25600  ismbf3d  25689  joiniooico  32776  asindmre  37710  snunioo1  45525
  Copyright terms: Public domain W3C validator