Theorem ixxun 13400

Description: Split an interval into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
ixxun.2	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
ixxun.3	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
ixxun.4	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
ixxun.5	⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑆𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶) → 𝑤𝑈𝐶))
ixxun.6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))

Assertion

Ref	Expression
ixxun	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) = (𝐴𝑄𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂   𝑤,𝑄   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4163	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
2		simpl1 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		simpl2 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		ixx.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
5	4	elixx1 13393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
6	2, 3, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
7	6	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵))
8	7	simp1d 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
9	7	simp2d 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
10	7	simp3d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
11		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵𝑋𝐶)
12	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		simpl3 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
15		ixxun.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑆𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶) → 𝑤𝑈𝐶))
16	8, 12, 14, 15	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → ((𝑤𝑆𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶) → 𝑤𝑈𝐶))
17	10, 11, 16	mp2and 699	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑈𝐶)
18	8, 9, 17	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
19		ixxun.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
20	19	elixx1 13393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
21	3, 13, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
22	21	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
23	22	simp1d 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
24		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴𝑊𝐵)
25	22	simp2d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵𝑇𝑤)
26	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		ixxun.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
29	26, 27, 23, 28	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → ((𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
30	24, 25, 29	mp2and 699	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴𝑅𝑤)
31	22	simp3d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤𝑈𝐶)
32	23, 30, 31	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
33	18, 32	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
34		ixxun.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
35	34	elixx1 13393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
36	2, 13, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
37	36	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶))
38	33, 37	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶))
39		exmid 894	. . . . 5 ⊢ (𝑤𝑆𝐵 ∨ ¬ 𝑤𝑆𝐵)
40	36	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
41	40	simp1d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
42	40	simp2d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝐴𝑅𝑤)
43	41, 42	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤))
44		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵) ↔ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤) ∧ 𝑤𝑆𝐵))
45	6, 44	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤) ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤) ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
47	43, 46	mpbirand 707	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ 𝑤𝑆𝐵))
48		3anan12 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶) ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
49	21, 48	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶))))
50	49	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶))))
51	40	simp3d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝑤𝑈𝐶)
52	41, 51	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶))
53	52	biantrud 531	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶))))
54	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
55		ixxun.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
56	54, 41, 55	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
57	50, 53, 56	3bitr2d 307	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
58	47, 57	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → ((𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ (𝑤𝑆𝐵 ∨ ¬ 𝑤𝑆𝐵)))
59	39, 58	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
60	38, 59	impbida 801	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → ((𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)))
61	1, 60	bitrid 283	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)))
62	61	eqrdv 2733	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) = (𝐴𝑄𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ∪ cun 3961   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℝ^*cxr 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-xr 11297

This theorem is referenced by:  icoun  13512  ioounsn  13514  snunioo  13515  snunico  13516  snunioc  13517  ioojoin  13520  leordtval2  23236  lecldbas  23243  icopnfcld  24804  iocmnfcld  24805  ioombl  25614  ismbf3d  25703  joiniooico  32783  asindmre  37690  snunioo1  45465