Theorem ixxun 13400

Description: Split an interval into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
ixxun.2	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
ixxun.3	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
ixxun.4	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
ixxun.5	⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑆𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶) → 𝑤𝑈𝐶))
ixxun.6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))

Assertion

Ref	Expression
ixxun	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) = (𝐴𝑄𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂   𝑤,𝑄   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem ixxun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4107	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
2		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		ixx.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
5	4	elixx1 13393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
6	2, 3, 5	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
7	6	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵))
8	7	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
9	7	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
10	7	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
11		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵𝑋𝐶)
12	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		simpl3 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
15		ixxun.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑆𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶) → 𝑤𝑈𝐶))
16	8, 12, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → ((𝑤𝑆𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶) → 𝑤𝑈𝐶))
17	10, 11, 16	mp2and 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑈𝐶)
18	8, 9, 17	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
19		ixxun.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
20	19	elixx1 13393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
21	3, 13, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
22	21	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
23	22	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
24		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴𝑊𝐵)
25	22	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵𝑇𝑤)
26	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		ixxun.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
29	26, 27, 23, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → ((𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
30	24, 25, 29	mp2and 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴𝑅𝑤)
31	22	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤𝑈𝐶)
32	23, 30, 31	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
33	18, 32	jaodan 972	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
34		ixxun.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
35	34	elixx1 13393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
36	2, 13, 35	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
37	36	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶))
38	33, 37	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶))
39		exmid 908	. . . . 5 ⊢ (𝑤𝑆𝐵 ∨ ¬ 𝑤𝑆𝐵)
40	36	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
41	40	simp1d 1160	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
42	40	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝐴𝑅𝑤)
43	41, 42	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤))
44		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵) ↔ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤) ∧ 𝑤𝑆𝐵))
45	6, 44	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤) ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
46	45	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤) ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
47	43, 46	mpbirand 720	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ 𝑤𝑆𝐵))
48		3anan12 1112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶) ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
49	21, 48	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶))))
50	49	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶))))
51	40	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝑤𝑈𝐶)
52	41, 51	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶))
53	52	biantrud 541	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ (𝐵𝑇𝑤 ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑤𝑈𝐶))))
54	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
55		ixxun.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
56	54, 41, 55	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
57	50, 53, 56	3bitr2d 310	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
58	47, 57	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → ((𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ (𝑤𝑆𝐵 ∨ ¬ 𝑤𝑆𝐵)))
59	39, 58	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
60	38, 59	impbida 813	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → ((𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∨ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)))
61	1, 60	bitrid 286	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝑄𝐶)))
62	61	eqrdv 2763	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐵 ∧ 𝐵𝑋𝐶)) → ((𝐴𝑂𝐵) ∪ (𝐵𝑃𝐶)) = (𝐴𝑄𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418   ∪ cun 3904   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ℝ^*cxr 11253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-xr 11258

This theorem is used by:  icoun  13514  ioounsn  13516  snunioo  13517  snunico  13518  snunioc  13519  ioojoin  13522  leordtval2  23399  lecldbas  23406  icopnfcld  24955  iocmnfcld  24956  ioombl  25755  ismbf3d  25844  joiniooico  33165  asindmre  38387  snunioo1  46261