Theorem ifcl 4534

Description: Membership (closure) of a conditional operator. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ifcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ifcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2851	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝜑, 𝐴, 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶))
2		eleq1 2851	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝜑, 𝐴, 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶))
3	1, 2	ifboth 4528	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ifcif 4488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-if 4489

This theorem is referenced by:  ifcld  4535  ifcli  4536  ifpr  4660  suppr  9433  infpr  9466  ttukeylem3  10496  canthp1lem2  10639  xrmaxlt  13208  xrltmin  13209  xrmaxle  13210  xrlemin  13211  lemaxle  13222  z2ge  13225  ixxin  13390  uzsup  13898  expmulnbnd  14273  discr1  14277  uzin2  15398  rexanre  15400  caubnd  15412  limsupbnd2  15536  rlimcn3  15643  reccn2  15650  lo1mul  15681  rlimno1  15707  fsumsplit  15794  isumless  15901  explecnv  15921  cvgrat  15939  fprodsplit  16022  rpnnen2lem2  16272  sadadd2lem2  16509  sadcaddlem  16516  sadadd2lem  16518  sadadd3  16520  smumullem  16551  pcmpt2  16954  prmreclem4  16980  prmreclem5  16981  prmreclem6  16982  1arith  16988  ressval  17294  acsfn  17716  mplcoe3  22170  mplcoe5  22172  ordtbaslem  23326  pnfnei  23358  mnfnei  23359  uzrest  24035  fclsval  24146  blin  24559  blin2  24567  stdbdxmet  24653  nrginvrcnlem  24829  qtopbaslem  24896  metnrmlem1a  24997  metnrmlem1  24998  addcnlem  25003  evth  25099  xlebnum  25105  minveclem3b  25568  ovolicc1  25656  ismbfd  25779  mbfposr  25792  mbfi1fseqlem4  25858  mbfi1fseqlem5  25859  mbfi1flimlem  25862  itg2const  25880  itg2const2  25881  itg2splitlem  25888  itg2monolem3  25892  itg2gt0  25900  itg2cnlem1  25901  itg2cnlem2  25902  itg2cn  25903  iblre  25934  itgreval  25937  itgneg  25944  iblss  25945  itgitg1  25949  itgle  25950  itgeqa  25954  itgss3  25955  itgless  25957  iblconst  25958  itgconst  25959  ibladdlem  25960  itgaddlem2  25964  iblabslem  25968  iblabsr  25970  iblmulc2  25971  itgmulc2lem2  25973  itgsplit  25976  bddiblnc  25982  dveflem  26119  elply2  26334  ply1term  26342  plyeq0lem  26348  plypf1  26350  coe1termlem  26396  coe1term  26397  aalioulem5  26480  aalioulem6  26481  cxpcn3lem  26893  o1cxp  27120  cxp2lim  27122  cxploglim  27123  cxploglim2  27124  ftalem1  27218  ftalem2  27219  ftalem4  27221  muf  27285  chtdif  27303  ppidif  27308  prmorcht  27323  muinv  27338  chtppilim  27620  rplogsumlem2  27630  dchrvmasumiflem1  27646  dchrvmasumiflem2  27647  rpvmasum2  27657  rplogsum  27672  ostth2lem2  27779  ostth2lem3  27780  ostth2lem4  27781  eupth2lems  30570  resvval  33630  signspval  34920  signswmnd  34925  mblfinlem2  38290  mbfposadd  38299  cnambfre  38300  itg2addnclem  38303  itg2addnc  38306  itg2gt0cn  38307  ibladdnclem  38308  itgaddnclem2  38311  iblabsnclem  38315  iblmulc2nc  38317  itgmulc2nclem2  38319  ftc1anclem5  38329  ftc1anclem7  38331  ftc1anclem8  38332  areaquad  43926  mullimc  46315  mullimcf  46322  addlimc  46345  limclner  46348  stoweidlem5  46702  prproropf1olem2  48236  linc0scn0  49186  linc1  49188