MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxss1 13390
Description: Subset relationship for intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxss1.2 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxss1.3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐵𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
Assertion
Ref Expression
ixxss1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) → (𝐵𝑃𝐶) ⊆ (𝐴𝑂𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxss1
StepHypRef Expression
1 ixxss1.2 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑆𝑦)})
21elixx3g 13385 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝑇𝑤𝑤𝑆𝐶)))
32simplbi 496 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
43adantl 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
54simp3d 1141 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6 simplr 767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴𝑊𝐵)
72simprbi 495 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) → (𝐵𝑇𝑤𝑤𝑆𝐶))
87adantl 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝐵𝑇𝑤𝑤𝑆𝐶))
98simpld 493 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵𝑇𝑤)
10 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
114simp1d 1139 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 ixxss1.3 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐵𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
1310, 11, 5, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → ((𝐴𝑊𝐵𝐵𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
146, 9, 13mp2and 697 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐴𝑅𝑤)
158simprd 494 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤𝑆𝐶)
164simp2d 1140 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17 ixx.1 . . . . . 6 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
1817elixx1 13381 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐶)))
1910, 16, 18syl2anc 582 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐶)))
205, 14, 15, 19mpbir3and 1339 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶))
2120ex 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶)))
2221ssrdv 3984 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑊𝐵) → (𝐵𝑃𝐶) ⊆ (𝐴𝑂𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  wss 3946   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  cmpo 7418  *cxr 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-xr 11293
This theorem is referenced by:  iooss1  13407  limsupgord  15469  pnfnei  23212  dvfsumrlimge0  26053  dvfsumrlim2  26055  tanord1  26561  rlimcnp  26990  rlimcnp2  26991  dchrisum0lem2a  27543  pntleml  27637  pnt  27640  liminfgord  45411
  Copyright terms: Public domain W3C validator