Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem10 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmliftlem10 34274
Description: Lemma for cvmlift 34279. The function 𝐾 is going to be our complete lifted path, formed by unioning together all the 𝑄 functions (each of which is defined on one segment [(𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁, 𝑀 / 𝑁] of the interval). Here we prove by induction that 𝐾 is a continuous function and a lift of 𝐺 by applying cvmliftlem6 34270, cvmliftlem7 34271 (to show it is a function and a lift), cvmliftlem8 34272 (to show it is continuous), and cvmliftlem9 34273 (to show that different 𝑄 functions agree on the intersection of their domains, so that the pasting lemma paste 22790 gives that 𝐾 is well-defined and continuous). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
cvmliftlem.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmliftlem.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cvmliftlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmliftlem.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
cvmliftlem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
cvmliftlem.t (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
cvmliftlem.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
cvmliftlem.k 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜)
cvmliftlem10.1 (πœ’ ↔ ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) ∧ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))))))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem10 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑁 / 𝑁)))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐡   𝑗,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑒,π‘₯,𝐹,𝑣,𝑧   𝑛,𝐿,𝑧   𝑃,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑠,𝑒,𝑣,𝑧   πœ‘,𝑗,𝑛,𝑠,π‘₯,𝑧   𝑁,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑄,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑏)   πœ’(π‘₯,𝑧,𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐡(π‘₯,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠)   𝐢(π‘₯,π‘š)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(π‘š)   𝑇(𝑛)   𝐽(π‘š)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐿(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(π‘₯,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑏)
Proof of Theorem cvmliftlem10
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 nnuz 12862 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
31, 2eleqtrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4 eluzfz2 13506 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
6 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑦 = 1 β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ 1 ∈ (1...𝑁)))
7 oveq2 7414 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 β†’ (1...𝑦) = (1...1))
8 1z 12589 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
9 fzsn 13540 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„€ β†’ (1...1) = {1})
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1...1) = {1}
117, 10eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 β†’ (1...𝑦) = {1})
1211iuneq1d 5024 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ {1} (π‘„β€˜π‘˜))
13 1ex 11207 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
14 fveq2 6889 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜1))
1513, 14iunxsn 5094 . . . . . . . . 9 βˆͺ π‘˜ ∈ {1} (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜1)
1612, 15eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜1))
17 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 β†’ (𝑦 / 𝑁) = (1 / 𝑁))
1817oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 β†’ (0[,](𝑦 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
1918oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 β†’ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))))
2019oveq1d 7421 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 β†’ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) = ((𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢))
2116, 20eleq12d 2828 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ↔ (π‘„β€˜1) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢)))
2216coeq2d 5861 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 β†’ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)))
2318reseq2d 5980 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 β†’ (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))) = (𝐺 β†Ύ (0[,](1 / 𝑁))))
2422, 23eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 β†’ ((𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))) ↔ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](1 / 𝑁)))))
2521, 24anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑦 = 1 β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁)))) ↔ ((π‘„β€˜1) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](1 / 𝑁))))))
266, 25imbi12d 345 . . . . 5 (𝑦 = 1 β†’ ((𝑦 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))))) ↔ (1 ∈ (1...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜1) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](1 / 𝑁)))))))
2726imbi2d 341 . . . 4 (𝑦 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁)))))) ↔ (πœ‘ β†’ (1 ∈ (1...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜1) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](1 / 𝑁))))))))
28 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (1...𝑁)))
29 oveq2 7414 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ (1...𝑦) = (1...𝑛))
3029iuneq1d 5024 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜))
31 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝑦 / 𝑁) = (𝑛 / 𝑁))
3231oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑛 β†’ (0[,](𝑦 / 𝑁)) = (0[,](𝑛 / 𝑁)))
3332oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))))
3433oveq1d 7421 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) = ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢))
3530, 34eleq12d 2828 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑛 β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ↔ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢)))
3630coeq2d 5861 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)))
3732reseq2d 5980 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))))
3836, 37eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))) ↔ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁)))))
3935, 38anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁)))) ↔ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))))))
4028, 39imbi12d 345 . . . . 5 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((𝑦 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))))) ↔ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁)))))))
4140imbi2d 341 . . . 4 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁)))))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))))))))
42 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)))
43 oveq2 7414 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (1...𝑦) = (1...(𝑛 + 1)))
4443iuneq1d 5024 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜))
45 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (𝑦 / 𝑁) = ((𝑛 + 1) / 𝑁))
4645oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (0[,](𝑦 / 𝑁)) = (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
4746oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
4847oveq1d 7421 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) = ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢))
4944, 48eleq12d 2828 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ↔ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢)))
5044coeq2d 5861 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)))
5146reseq2d 5980 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
5250, 51eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))) ↔ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
5349, 52anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁)))) ↔ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))))
5442, 53imbi12d 345 . . . . 5 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑦 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))))) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))))
5554imbi2d 341 . . . 4 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁)))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))))))
56 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁)))
57 oveq2 7414 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑁 β†’ (1...𝑦) = (1...𝑁))
5857iuneq1d 5024 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜))
59 cvmliftlem.k . . . . . . . . 9 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘˜)
6058, 59eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑁 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) = 𝐾)
61 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑁 β†’ (𝑦 / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
6261oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑁 β†’ (0[,](𝑦 / 𝑁)) = (0[,](𝑁 / 𝑁)))
6362oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 β†’ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))))
6463oveq1d 7421 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑁 β†’ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) = ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐢))
6560, 64eleq12d 2828 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑁 β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ↔ 𝐾 ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐢)))
6660coeq2d 5861 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑁 β†’ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐹 ∘ 𝐾))
6762reseq2d 5980 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑁 β†’ (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑁 / 𝑁))))
6866, 67eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑁 β†’ ((𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))) ↔ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑁 / 𝑁)))))
6965, 68anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁)))) ↔ (𝐾 ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑁 / 𝑁))))))
7056, 69imbi12d 345 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 β†’ ((𝑦 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁))))) ↔ (𝑁 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝐾 ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑁 / 𝑁)))))))
7170imbi2d 341 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑦 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑦)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑦 / 𝑁)))))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝐾 ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑁 / 𝑁))))))))
72 eluzfz1 13505 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
733, 72syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
74 cvmliftlem.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
75 cvmliftlem.b . . . . . . . . 9 𝐡 = βˆͺ 𝐢
76 cvmliftlem.x . . . . . . . . 9 𝑋 = βˆͺ 𝐽
77 cvmliftlem.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
78 cvmliftlem.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
79 cvmliftlem.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
80 cvmliftlem.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
81 cvmliftlem.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
82 cvmliftlem.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
83 cvmliftlem.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
84 cvmliftlem.q . . . . . . . . 9 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
85 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))
8674, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 1, 81, 82, 83, 84, 85cvmliftlem8 34272 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘„β€˜1) ∈ ((𝐿 β†Ύt (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢))
8773, 86mpdan 686 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) ∈ ((𝐿 β†Ύt (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢))
88 1m1e0 12281 . . . . . . . . . . . 12 (1 βˆ’ 1) = 0
8988oveq1i 7416 . . . . . . . . . . 11 ((1 βˆ’ 1) / 𝑁) = (0 / 𝑁)
901nncnd 12225 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
911nnne0d 12259 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
9290, 91div0d 11986 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 / 𝑁) = 0)
9389, 92eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ 1) / 𝑁) = 0)
9493oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)) = (0[,](1 / 𝑁)))
9594oveq2d 7422 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐿 β†Ύt (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))))
9695oveq1d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐿 β†Ύt (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢) = ((𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢))
9787, 96eleqtrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢))
98 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
9974, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 1, 81, 82, 83, 84, 85cvmliftlem7 34271 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(1 βˆ’ 1))β€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((1 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
10074, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 1, 81, 82, 83, 84, 85, 98, 99cvmliftlem6 34270 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜1):(((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
10173, 100mpdan 686 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1):(((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁)))))
102101simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))))
10394reseq2d 5980 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ (((1 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](1 / 𝑁))) = (𝐺 β†Ύ (0[,](1 / 𝑁))))
104102, 103eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](1 / 𝑁))))
10597, 104jca 513 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜1) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](1 / 𝑁)))))
106105a1d 25 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 ∈ (1...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜1) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](1 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜1)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](1 / 𝑁))))))
107 elnnuz 12863 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
108107biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
109108adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
110 peano2fzr 13511 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑁))
111110ex 414 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑁)))
112109, 111syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑁)))
113112imim1d 82 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))))) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁)))))))
114 cvmliftlem10.1 . . . . . . 7 (πœ’ ↔ ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) ∧ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))))))
115 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
116 0re 11213 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
117114simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ (𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)))
118117adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)))
119118simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁))
120 elfznn 13527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
122121nnred 12224 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1231adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
124122, 123nndivred 12263 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
125 iccssre 13403 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) βŠ† ℝ)
126116, 124, 125sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) βŠ† ℝ)
127117simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ 𝑛 ∈ β„•)
128127adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
129128nnred 12224 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
130129, 123nndivred 12263 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ)
131 icccld 24275 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
132116, 130, 131sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
13383fveq2i 6892 . . . . . . . . . . 11 (Clsdβ€˜πΏ) = (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
134132, 133eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜πΏ))
135 ssun1 4172 . . . . . . . . . . 11 (0[,](𝑛 / 𝑁)) βŠ† ((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
136116a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 0 ∈ ℝ)
137128nnnn0d 12529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
138137nn0ge0d 12532 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 0 ≀ 𝑛)
139123nnred 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
140123nngt0d 12258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 0 < 𝑁)
141 divge0 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ 0 ≀ (𝑛 / 𝑁))
142129, 138, 139, 140, 141syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 0 ≀ (𝑛 / 𝑁))
143129ltp1d 12141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑛 < (𝑛 + 1))
144 ltdiv1 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (𝑛 / 𝑁) < ((𝑛 + 1) / 𝑁)))
145129, 122, 139, 140, 144syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (𝑛 / 𝑁) < ((𝑛 + 1) / 𝑁)))
146143, 145mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 / 𝑁) < ((𝑛 + 1) / 𝑁))
147130, 124, 146ltled 11359 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁))
148 elicc2 13386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 / 𝑁) ∈ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ↔ ((𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑛 / 𝑁) ∧ (𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁))))
149116, 124, 148sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 / 𝑁) ∈ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ↔ ((𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑛 / 𝑁) ∧ (𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁))))
150130, 142, 147, 149mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
151 iccsplit 13459 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†’ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
152136, 124, 150, 151syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
153135, 152sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) βŠ† (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
154 uniretop 24271 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
15583unieqi 4921 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝐿 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
156154, 155eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . 11 ℝ = βˆͺ 𝐿
157156restcldi 22669 . . . . . . . . . 10 (((0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (0[,](𝑛 / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜πΏ) ∧ (0[,](𝑛 / 𝑁)) βŠ† (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
158126, 134, 153, 157syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
159 icccld 24275 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
160130, 124, 159syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
161160, 133eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜πΏ))
162 ssun2 4173 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) βŠ† ((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
163162, 152sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) βŠ† (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
164156restcldi 22669 . . . . . . . . . 10 (((0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) βŠ† ℝ ∧ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜πΏ) ∧ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) βŠ† (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†’ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
165126, 161, 163, 164syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (Clsdβ€˜(𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
166 retop 24270 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
16783, 166eqeltri 2830 . . . . . . . . . . 11 𝐿 ∈ Top
168156restuni 22658 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ Top ∧ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) βŠ† ℝ) β†’ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
169167, 126, 168sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
170152, 169eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
171114simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁)))))
172171adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁)))))
173172simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢))
174 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) = βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁)))
175174, 75cnf 22742 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜):βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁)))⟢𝐡)
176173, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜):βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁)))⟢𝐡)
177 iccssre 13403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) βŠ† ℝ)
178116, 130, 177sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) βŠ† ℝ)
179156restuni 22658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ Top ∧ (0[,](𝑛 / 𝑁)) βŠ† ℝ) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) = βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))))
180167, 178, 179sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,](𝑛 / 𝑁)) = βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))))
181180feq2d 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜):(0[,](𝑛 / 𝑁))⟢𝐡 ↔ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜):βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁)))⟢𝐡))
182176, 181mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜):(0[,](𝑛 / 𝑁))⟢𝐡)
183 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))
184 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁))
18574, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 1, 81, 82, 83, 84, 183cvmliftlem7 34271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁))}))
18674, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 1, 81, 82, 83, 84, 183, 184, 185cvmliftlem6 34270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
187119, 186syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
188187simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡)
189128nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
190 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„‚
191 pncan 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 1) = 𝑛)
192189, 190, 191sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 1) = 𝑛)
193192oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁) = (𝑛 / 𝑁))
194193oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
195194feq2d 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ↔ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡))
196188, 195mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡)
197176ffund 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ Fun βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜))
198128, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
199 eluzfz2 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑛))
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑛))
201 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜π‘›))
202201ssiun2s 5051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑛) β†’ (π‘„β€˜π‘›) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜))
203200, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (π‘„β€˜π‘›) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜))
204 peano2rem 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
205129, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
206205, 123nndivred 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
207206rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
208130rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ*)
209129ltm1d 12143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) < 𝑛)
210 ltdiv1 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) < 𝑛 ↔ ((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁) < (𝑛 / 𝑁)))
211205, 129, 139, 140, 210syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) < 𝑛 ↔ ((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁) < (𝑛 / 𝑁)))
212209, 211mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁) < (𝑛 / 𝑁))
213206, 130, 212ltled 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁) ≀ (𝑛 / 𝑁))
214 ubicc2 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁) ≀ (𝑛 / 𝑁)) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ (((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁)))
215207, 208, 213, 214syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ (((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁)))
216198, 119, 110syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑁))
217 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁)) = (((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁))
218 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑁))
21974, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 1, 81, 82, 83, 84, 217cvmliftlem7 34271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 βˆ’ 1))β€˜((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
22074, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 1, 81, 82, 83, 84, 217, 218, 219cvmliftlem6 34270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜π‘›):(((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜π‘›)) = (𝐺 β†Ύ (((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁)))))
221216, 220syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((π‘„β€˜π‘›):(((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜π‘›)) = (𝐺 β†Ύ (((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁)))))
222221simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (π‘„β€˜π‘›):(((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁))⟢𝐡)
223222fdmd 6726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ dom (π‘„β€˜π‘›) = (((𝑛 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁)))
224215, 223eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ dom (π‘„β€˜π‘›))
225 funssfv 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜π‘›) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ dom (π‘„β€˜π‘›)) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)β€˜(𝑛 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)))
226197, 203, 224, 225syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)β€˜(𝑛 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)))
227192fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1)) = (π‘„β€˜π‘›))
228227, 193fveq12d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)))
22974, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 1, 81, 82, 83, 84cvmliftlem9 34273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)))
230119, 229syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)))
231193fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(𝑛 / 𝑁)))
232230, 231eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(𝑛 / 𝑁)))
233226, 228, 2323eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)β€˜(𝑛 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(𝑛 / 𝑁)))
234233opeq2d 4880 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ⟨(𝑛 / 𝑁), (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)β€˜(𝑛 / 𝑁))⟩ = ⟨(𝑛 / 𝑁), ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(𝑛 / 𝑁))⟩)
235234sneqd 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ {⟨(𝑛 / 𝑁), (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)β€˜(𝑛 / 𝑁))⟩} = {⟨(𝑛 / 𝑁), ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(𝑛 / 𝑁))⟩})
236182ffnd 6716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) Fn (0[,](𝑛 / 𝑁)))
237 0xr 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
238237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 0 ∈ ℝ*)
239 ubicc2 13439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑛 / 𝑁)) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ (0[,](𝑛 / 𝑁)))
240238, 208, 142, 239syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ (0[,](𝑛 / 𝑁)))
241 fnressn 7153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) Fn (0[,](𝑛 / 𝑁)) ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ (0[,](𝑛 / 𝑁))) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ {(𝑛 / 𝑁)}) = {⟨(𝑛 / 𝑁), (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)β€˜(𝑛 / 𝑁))⟩})
242236, 240, 241syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ {(𝑛 / 𝑁)}) = {⟨(𝑛 / 𝑁), (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)β€˜(𝑛 / 𝑁))⟩})
243196ffnd 6716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)) Fn ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
244124rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
245 lbicc2 13438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁)) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
246208, 244, 147, 245syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
247 fnressn 7153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) Fn ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) β†Ύ {(𝑛 / 𝑁)}) = {⟨(𝑛 / 𝑁), ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(𝑛 / 𝑁))⟩})
248243, 246, 247syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) β†Ύ {(𝑛 / 𝑁)}) = {⟨(𝑛 / 𝑁), ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜(𝑛 / 𝑁))⟩})
249235, 242, 2483eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ {(𝑛 / 𝑁)}) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) β†Ύ {(𝑛 / 𝑁)}))
250 df-icc 13328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [,] = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
251 xrmaxle 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (if(0 ≀ (𝑛 / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), 0) ≀ 𝑧 ↔ (0 ≀ 𝑧 ∧ (𝑛 / 𝑁) ≀ 𝑧)))
252 xrlemin 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ≀ if((𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), ((𝑛 + 1) / 𝑁)) ↔ (𝑧 ≀ (𝑛 / 𝑁) ∧ 𝑧 ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁))))
253250, 251, 252ixxin 13338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)) β†’ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (if(0 ≀ (𝑛 / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), 0)[,]if((𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), ((𝑛 + 1) / 𝑁))))
254238, 208, 208, 244, 253syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (if(0 ≀ (𝑛 / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), 0)[,]if((𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), ((𝑛 + 1) / 𝑁))))
255142iftrued 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ if(0 ≀ (𝑛 / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), 0) = (𝑛 / 𝑁))
256147iftrued 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ if((𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), ((𝑛 + 1) / 𝑁)) = (𝑛 / 𝑁))
257255, 256oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (if(0 ≀ (𝑛 / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), 0)[,]if((𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁), (𝑛 / 𝑁), ((𝑛 + 1) / 𝑁))) = ((𝑛 / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁)))
258 iccid 13366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ* β†’ ((𝑛 / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁)) = {(𝑛 / 𝑁)})
259208, 258syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝑛 / 𝑁)[,](𝑛 / 𝑁)) = {(𝑛 / 𝑁)})
260254, 257, 2593eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = {(𝑛 / 𝑁)})
261260reseq2d 5980 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))) = (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ {(𝑛 / 𝑁)}))
262260reseq2d 5980 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) β†Ύ {(𝑛 / 𝑁)}))
263249, 261, 2623eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
264 fresaun 6760 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜):(0[,](𝑛 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))):((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))⟢𝐡)
265182, 196, 263, 264syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))):((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))⟢𝐡)
266 fzsuc 13545 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) βˆͺ {(𝑛 + 1)}))
267198, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) βˆͺ {(𝑛 + 1)}))
268267iuneq1d 5024 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ ((1...𝑛) βˆͺ {(𝑛 + 1)})(π‘„β€˜π‘˜))
269 iunxun 5097 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ π‘˜ ∈ ((1...𝑛) βˆͺ {(𝑛 + 1)})(π‘„β€˜π‘˜) = (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ {(𝑛 + 1)} (π‘„β€˜π‘˜))
270 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 + 1) ∈ V
271 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))
272270, 271iunxsn 5094 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ π‘˜ ∈ {(𝑛 + 1)} (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(𝑛 + 1))
273272uneq2i 4160 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ {(𝑛 + 1)} (π‘„β€˜π‘˜)) = (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))
274269, 273eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ π‘˜ ∈ ((1...𝑛) βˆͺ {(𝑛 + 1)})(π‘„β€˜π‘˜) = (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))
275268, 274eqtr2di 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜))
276275feq1d 6700 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))):((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))⟢𝐡 ↔ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜):((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))⟢𝐡))
277265, 276mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜):((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))⟢𝐡)
278170feq2d 6701 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜):((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))⟢𝐡 ↔ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜):βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))⟢𝐡))
279277, 278mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜):βˆͺ (𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))⟢𝐡)
280275reseq1d 5979 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))) = (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))))
281 fresaunres1 6762 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜):(0[,](𝑛 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))) β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜))
282182, 196, 263, 281syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜))
283280, 282eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜))
284167a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ 𝐿 ∈ Top)
285 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ V
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ V)
287 restabs 22661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ Top ∧ (0[,](𝑛 / 𝑁)) βŠ† (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∧ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ V) β†’ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))))
288284, 153, 286, 287syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))))
289288oveq1d 7421 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) = ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢))
290173, 283, 2893eltr4d 2849 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))) ∈ (((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢))
29174, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 1, 81, 82, 83, 84, 183cvmliftlem8 34272 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)) ∈ ((𝐿 β†Ύt ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢))
292119, 291syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)) ∈ ((𝐿 β†Ύt ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢))
293194oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝐿 β†Ύt ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
294293oveq1d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝐿 β†Ύt ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢) = ((𝐿 β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢))
295292, 294eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)) ∈ ((𝐿 β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢))
296275reseq1d 5979 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
297 fresaunres2 6761 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜):(0[,](𝑛 / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)) β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) ∩ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))) β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))
298182, 196, 263, 297syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))
299296, 298eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))
300 restabs 22661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ Top ∧ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) βŠ† (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∧ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ V) β†’ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
301284, 163, 286, 300syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (𝐿 β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
302301oveq1d 7421 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢) = ((𝐿 β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢))
303295, 299, 3023eltr4d 2849 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) ∈ (((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†Ύt ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢))
304115, 75, 158, 165, 170, 279, 290, 303paste 22790 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢))
305152reseq2d 5980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (𝐺 β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
306172simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))))
307187simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
308194reseq2d 5980 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
309307, 308eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
310306, 309uneq12d 4164 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ ((𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) βˆͺ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))) = ((𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))) βˆͺ (𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
311 coundi 6244 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∘ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))) = ((𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) βˆͺ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))))
312 resundi 5994 . . . . . . . . . 10 (𝐺 β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))) = ((𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁))) βˆͺ (𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
313310, 311, 3123eqtr4g 2798 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝐹 ∘ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))) = (𝐺 β†Ύ ((0[,](𝑛 / 𝑁)) βˆͺ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
314275coeq2d 5861 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝐹 ∘ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) βˆͺ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))) = (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)))
315305, 313, 3143eqtr2rd 2780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
316304, 315jca 513 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ’) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
317114, 316sylan2br 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) ∧ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁)))))) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
318317expr 458 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁))) β†’ ((βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁)))) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))))
319113, 318animpimp2impd 845 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑛 / 𝑁)))))) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜) ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘„β€˜π‘˜)) = (𝐺 β†Ύ (0[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))))))
32027, 41, 55, 71, 106, 319nnind 12227 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝐾 ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑁 / 𝑁)))))))
3211, 320mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝐾 ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑁 / 𝑁))))))
3225, 321mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ((𝐿 β†Ύt (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝐺 β†Ύ (0[,](𝑁 / 𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  β„©crio 7361  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  1st c1st 7970  2nd c2nd 7971  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„•cn 12209  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  seqcseq 13963   β†Ύt crest 17363  topGenctg 17380  Topctop 22387  Clsdccld 22512   Cn ccn 22720  Homeochmeo 23249  IIcii 24383   CovMap ccvm 34235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-cld 22515  df-cn 22723  df-hmeo 23251  df-ii 24385  df-cvm 34236
This theorem is referenced by:  cvmliftlem11  34275
  Copyright terms: Public domain W3C validator