Theorem lcvbr2 38964

Description: The covers relation for a left vector space (or a left module). (cvbr2 32249 analog.) (Contributed by NM, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvbr2	⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lcvbr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvfbr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvfbr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lcvfbr.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		lcvfbr.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lcvfbr.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lcvbr 38963	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
7		iman 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ ¬ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈))
8		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈)))
9		dfpss2 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈))
10	9	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈)))
11	8, 10	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
12	7, 11	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
13	12	ralbii 3081	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
14		ralnex 3061	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
15	13, 14	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
16	15	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
17	6, 16	bitr4di 289	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3933   ⊊ wpss 3934   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  LSubSpclss 20902   ⋖_L clcv 38960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fv 6550  df-lcv 38961

This theorem is referenced by:  lsmcv2  38971  lsat0cv  38975