Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvbr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvbr2 37513
Description: The covers relation for a left vector space (or a left module). (cvbr2 31267 analog.) (Contributed by NM, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvfbr.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvfbr.w (𝜑𝑊𝑋)
lcvfbr.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvfbr.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lcvbr2 (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 ((𝑇𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lcvbr2
StepHypRef Expression
1 lcvfbr.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lcvfbr.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
3 lcvfbr.w . . 3 (𝜑𝑊𝑋)
4 lcvfbr.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
5 lcvfbr.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
61, 2, 3, 4, 5lcvbr 37512 . 2 (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠𝑆 (𝑇𝑠𝑠𝑈))))
7 iman 403 . . . . . 6 (((𝑇𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ ¬ ((𝑇𝑠𝑠𝑈) ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈))
8 anass 470 . . . . . . 7 (((𝑇𝑠𝑠𝑈) ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈) ↔ (𝑇𝑠 ∧ (𝑠𝑈 ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈)))
9 dfpss2 4050 . . . . . . . 8 (𝑠𝑈 ↔ (𝑠𝑈 ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈))
109anbi2i 624 . . . . . . 7 ((𝑇𝑠𝑠𝑈) ↔ (𝑇𝑠 ∧ (𝑠𝑈 ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈)))
118, 10bitr4i 278 . . . . . 6 (((𝑇𝑠𝑠𝑈) ∧ ¬ 𝑠 = 𝑈) ↔ (𝑇𝑠𝑠𝑈))
127, 11xchbinx 334 . . . . 5 (((𝑇𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ ¬ (𝑇𝑠𝑠𝑈))
1312ralbii 3097 . . . 4 (∀𝑠𝑆 ((𝑇𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ ∀𝑠𝑆 ¬ (𝑇𝑠𝑠𝑈))
14 ralnex 3076 . . . 4 (∀𝑠𝑆 ¬ (𝑇𝑠𝑠𝑈) ↔ ¬ ∃𝑠𝑆 (𝑇𝑠𝑠𝑈))
1513, 14bitri 275 . . 3 (∀𝑠𝑆 ((𝑇𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ ¬ ∃𝑠𝑆 (𝑇𝑠𝑠𝑈))
1615anbi2i 624 . 2 ((𝑇𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 ((𝑇𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈)) ↔ (𝑇𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠𝑆 (𝑇𝑠𝑠𝑈)))
176, 16bitr4di 289 1 (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 ((𝑇𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  wrex 3074  wss 3915  wpss 3916   class class class wbr 5110  cfv 6501  LSubSpclss 20408  L clcv 37509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-lcv 37510
This theorem is referenced by:  lsmcv2  37520  lsat0cv  37524
  Copyright terms: Public domain W3C validator