Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmcv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcv2 39011
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 32322 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv2.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcv2.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsmcv2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmcv2.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmcv2.x (𝜑𝑋𝑉)
lsmcv2.l (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lsmcv2 (𝜑𝑈𝐶(𝑈 (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcv2.l . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
2 lsmcv2.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
3 lsmcv2.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 21123 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lsmcv2.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76lsssssubg 20974 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9 lsmcv2.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
108, 9sseldd 3996 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lsmcv2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
12 lsmcv2.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lsmcv2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1412, 6, 13lspsncl 20993 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
155, 11, 14syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
168, 15sseldd 3996 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
172, 10, 16lssnle 19707 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
181, 17mpbid 232 . 2 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
19 3simpa 1147 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → (𝜑𝑥𝑆))
20 simp3l 1200 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑈𝑥)
21 simp3r 1201 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
223adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ LVec)
239adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑈𝑆)
24 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
2511adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑋𝑉)
2612, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25lsmcv 21161 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2719, 20, 21, 26syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
28273exp 1118 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑆 → ((𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))))
2928ralrimiv 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 ((𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
30 lsmcv2.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
316, 2lsmcl 21100 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
325, 9, 15, 31syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
336, 30, 3, 9, 32lcvbr2 39004 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐶(𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ ∀𝑥𝑆 ((𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))))
3418, 29, 33mpbir2and 713 1 (𝜑𝑈𝐶(𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  wpss 3964  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  SubGrpcsubg 19151  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  L clcv 39000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lcv 39001
This theorem is referenced by:  lcv1  39023
  Copyright terms: Public domain W3C validator