Theorem lsmcv2 39844

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 32682 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcv2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmcv2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsmcv2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmcv2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmcv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmcv2.l	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsmcv2	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcv2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
2		lsmcv2.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lsmcv2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsmcv2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssssubg 21116	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8	5, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9		lsmcv2.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lsmcv2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lsmcv2.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lsmcv2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	12, 6, 13	lspsncl 21135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
15	5, 11, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
16	8, 15	sseldd 3941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	2, 10, 16	lssnle 19775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
18	1, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
19		3simpa 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
20		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑈 ⊊ 𝑥)
21		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
22	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LVec)
23	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
25	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	12, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25	lsmcv 21302	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
27	19, 20, 21, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
28	27	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))))
29	28	ralrimiv 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
30		lsmcv2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
31	6, 2	lsmcl 21241	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
32	5, 9, 15, 31	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
33	6, 30, 3, 9, 32	lcvbr2 39837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))))
34	18, 29, 33	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908   ⊊ wpss 3909  {csn 4594   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  SubGrpcsubg 19217  LSSumclsm 19735  LModclmod 21018  LSubSpclss 21089  LSpanclspn 21129  LVecclvec 21260   ⋖_L clcv 39833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261  df-lcv 39834

This theorem is used by:  lcv1  39856