Theorem lsmcv2 39022

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 32222 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcv2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmcv2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsmcv2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmcv2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmcv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmcv2.l	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsmcv2	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcv2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
2		lsmcv2.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lsmcv2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsmcv2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssssubg 20864	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9		lsmcv2.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lsmcv2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lsmcv2.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lsmcv2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	12, 6, 13	lspsncl 20883	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
15	5, 11, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
16	8, 15	sseldd 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	2, 10, 16	lssnle 19604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
18	1, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
19		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
20		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑈 ⊊ 𝑥)
21		simp3r 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
22	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LVec)
23	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
25	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	12, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25	lsmcv 21051	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
27	19, 20, 21, 26	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
28	27	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))))
29	28	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
30		lsmcv2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
31	6, 2	lsmcl 20990	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
32	5, 9, 15, 31	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
33	6, 30, 3, 9, 32	lcvbr2 39015	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))))
34	18, 29, 33	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  SubGrpcsubg 19052  LSSumclsm 19564  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LSpanclspn 20877  LVecclvec 21009   ⋖_L clcv 39011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010  df-lcv 39012

This theorem is referenced by:  lcv1  39034