Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmcv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcv2 39030
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 32312 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv2.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcv2.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsmcv2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmcv2.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmcv2.x (𝜑𝑋𝑉)
lsmcv2.l (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lsmcv2 (𝜑𝑈𝐶(𝑈 (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcv2.l . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
2 lsmcv2.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
3 lsmcv2.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 21105 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lsmcv2.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76lsssssubg 20956 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9 lsmcv2.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
108, 9sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lsmcv2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
12 lsmcv2.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lsmcv2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1412, 6, 13lspsncl 20975 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
155, 11, 14syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
168, 15sseldd 3984 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
172, 10, 16lssnle 19692 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
181, 17mpbid 232 . 2 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
19 3simpa 1149 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → (𝜑𝑥𝑆))
20 simp3l 1202 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑈𝑥)
21 simp3r 1203 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
223adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ LVec)
239adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑈𝑆)
24 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
2511adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑋𝑉)
2612, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25lsmcv 21143 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2719, 20, 21, 26syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
28273exp 1120 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑆 → ((𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))))
2928ralrimiv 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 ((𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
30 lsmcv2.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
316, 2lsmcl 21082 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
325, 9, 15, 31syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
336, 30, 3, 9, 32lcvbr2 39023 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐶(𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ ∀𝑥𝑆 ((𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))))
3418, 29, 33mpbir2and 713 1 (𝜑𝑈𝐶(𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  wpss 3952  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  L clcv 39019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lcv 39020
This theorem is referenced by:  lcv1  39042
  Copyright terms: Public domain W3C validator