Theorem lsmcv2 40054

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 32877 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcv2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmcv2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsmcv2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmcv2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmcv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmcv2.l	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsmcv2	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcv2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
2		lsmcv2.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lsmcv2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsmcv2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssssubg 21213	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8	5, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9		lsmcv2.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lsmcv2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lsmcv2.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lsmcv2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	12, 6, 13	lspsncl 21232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
15	5, 11, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
16	8, 15	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	2, 10, 16	lssnle 19868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
18	1, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
19		3simpa 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
20		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑈 ⊊ 𝑥)
21		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
22	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LVec)
23	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
25	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	12, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25	lsmcv 21399	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
27	19, 20, 21, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
28	27	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))))
29	28	ralrimiv 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
30		lsmcv2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
31	6, 2	lsmcl 21338	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
32	5, 9, 15, 31	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
33	6, 30, 3, 9, 32	lcvbr2 40047	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))))
34	18, 29, 33	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  SubGrpcsubg 19310  LSSumclsm 19828  LModclmod 21115  LSubSpclss 21186  LSpanclspn 21226  LVecclvec 21357   ⋖_L clcv 40043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-lsm 19830  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358  df-lcv 40044

This theorem is used by:  lcv1  40066