Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmcv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcv2 36283
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 30074 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv2.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcv2.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsmcv2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmcv2.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmcv2.x (𝜑𝑋𝑉)
lsmcv2.l (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lsmcv2 (𝜑𝑈𝐶(𝑈 (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcv2.l . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
2 lsmcv2.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
3 lsmcv2.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19869 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lsmcv2.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76lsssssubg 19721 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9 lsmcv2.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
108, 9sseldd 3943 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lsmcv2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
12 lsmcv2.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lsmcv2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1412, 6, 13lspsncl 19740 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
155, 11, 14syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
168, 15sseldd 3943 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
172, 10, 16lssnle 18791 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
181, 17mpbid 235 . 2 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
19 3simpa 1145 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → (𝜑𝑥𝑆))
20 simp3l 1198 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑈𝑥)
21 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
223adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ LVec)
239adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑈𝑆)
24 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
2511adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑋𝑉)
2612, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25lsmcv 19904 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2719, 20, 21, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆 ∧ (𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
28273exp 1116 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑆 → ((𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))))
2928ralrimiv 3173 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 ((𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
30 lsmcv2.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
316, 2lsmcl 19846 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
325, 9, 15, 31syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
336, 30, 3, 9, 32lcvbr2 36276 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐶(𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ ∀𝑥𝑆 ((𝑈𝑥𝑥 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))))
3418, 29, 33mpbir2and 712 1 (𝜑𝑈𝐶(𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  wss 3908  wpss 3909  {csn 4539   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  SubGrpcsubg 18264  LSSumclsm 18750  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694  LSpanclspn 19734  LVecclvec 19865  L clcv 36272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866  df-lcv 36273
This theorem is referenced by:  lcv1  36295
  Copyright terms: Public domain W3C validator