Theorem lsmcv2 39067

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 32268 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcv2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmcv2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsmcv2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmcv2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmcv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmcv2.l	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsmcv2	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcv2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
2		lsmcv2.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lsmcv2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsmcv2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssssubg 20889	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9		lsmcv2.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lsmcv2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lsmcv2.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lsmcv2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	12, 6, 13	lspsncl 20908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
15	5, 11, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
16	8, 15	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	2, 10, 16	lssnle 19584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
18	1, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
19		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
20		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑈 ⊊ 𝑥)
21		simp3r 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
22	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LVec)
23	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
25	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	12, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25	lsmcv 21076	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
27	19, 20, 21, 26	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
28	27	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))))
29	28	ralrimiv 3123	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
30		lsmcv2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
31	6, 2	lsmcl 21015	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
32	5, 9, 15, 31	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝑆)
33	6, 30, 3, 9, 32	lcvbr2 39060	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑈 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑥 = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))))
34	18, 29, 33	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  {csn 4576   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  SubGrpcsubg 19030  LSSumclsm 19544  LModclmod 20791  LSubSpclss 20862  LSpanclspn 20902  LVecclvec 21034   ⋖_L clcv 39056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-cntz 19227  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lvec 21035  df-lcv 39057

This theorem is referenced by:  lcv1  39079