Theorem lcvbr3 36964

Description: The covers relation for a left vector space (or a left module). (Contributed by NM, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvbr3	⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lcvbr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvfbr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvfbr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lcvfbr.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		lcvfbr.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lcvfbr.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lcvbr 36962	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
7		iman 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
8		df-pss 3902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑠 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑇 ≠ 𝑠))
9		necom 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ≠ 𝑠 ↔ 𝑠 ≠ 𝑇)
10	9	anbi2i 622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑇 ≠ 𝑠) ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇))
11	8, 10	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑠 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇))
12		df-pss 3902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈))
13	11, 12	anbi12i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)))
14		an4 652	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)))
15		neanior 3036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈) ↔ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈))
16	15	anbi2i 622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
17	14, 16	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
18	13, 17	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
19	7, 18	xchbinxr 334	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
20	19	ralbii 3090	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
21		ralnex 3163	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
22	20, 21	bitri 274	. . 3 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
23	22	anbi2i 622	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
24	6, 23	bitr4di 288	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  LSubSpclss 20108   ⋖_L clcv 36959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-lcv 36960

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  36978  lcvexchlem5  36979