Theorem lcvbr3 39023

Description: The covers relation for a left vector space (or a left module). (Contributed by NM, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvbr3	⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lcvbr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvfbr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvfbr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lcvfbr.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		lcvfbr.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lcvfbr.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lcvbr 39021	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
7		iman 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
8		df-pss 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑠 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑇 ≠ 𝑠))
9		necom 2979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ≠ 𝑠 ↔ 𝑠 ≠ 𝑇)
10	9	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑇 ≠ 𝑠) ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇))
11	8, 10	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑠 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇))
12		df-pss 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈))
13	11, 12	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)))
14		an4 656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)))
15		neanior 3019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈) ↔ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈))
16	15	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
17	14, 16	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
18	13, 17	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
19	7, 18	xchbinxr 335	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
20	19	ralbii 3076	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
21		ralnex 3056	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
22	20, 21	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
23	22	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
24	6, 23	bitr4di 289	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  LSubSpclss 20844   ⋖_L clcv 39018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-lcv 39019

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  39037  lcvexchlem5  39038