Theorem lcvbr3 39686

Description: The covers relation for a left vector space (or a left module). (Contributed by NM, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvbr3	⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lcvbr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvfbr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvfbr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lcvfbr.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		lcvfbr.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lcvfbr.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lcvbr 39684	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
7		iman 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
8		df-pss 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑠 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑇 ≠ 𝑠))
9		necom 3017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ≠ 𝑠 ↔ 𝑠 ≠ 𝑇)
10	9	anbi2i 634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑇 ≠ 𝑠) ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇))
11	8, 10	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑠 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇))
12		df-pss 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈))
13	11, 12	anbi12i 639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)))
14		an4 668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)))
15		neanior 3057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈) ↔ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈))
16	15	anbi2i 634	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
17	14, 16	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
18	13, 17	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
19	7, 18	xchbinxr 338	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
20	19	ralbii 3117	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
21		ralnex 3097	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
22	20, 21	bitri 278	. . 3 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
23	22	anbi2i 634	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
24	6, 23	bitr4di 292	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  LSubSpclss 21029   ⋖_L clcv 39681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-lcv 39682

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  39700  lcvexchlem5  39701