Theorem lcvbr3 39647

Description: The covers relation for a left vector space (or a left module). (Contributed by NM, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvbr3	⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lcvbr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvfbr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvfbr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lcvfbr.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		lcvfbr.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lcvfbr.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lcvbr 39645	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
7		iman 405	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
8		df-pss 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑠 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑇 ≠ 𝑠))
9		necom 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ≠ 𝑠 ↔ 𝑠 ≠ 𝑇)
10	9	anbi2i 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑇 ≠ 𝑠) ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇))
11	8, 10	bitri 277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑠 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇))
12		df-pss 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈))
13	11, 12	anbi12i 637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)))
14		an4 666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)))
15		neanior 3050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈) ↔ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈))
16	15	anbi2i 632	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑠 ≠ 𝑇 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
17	14, 16	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑇) ∧ (𝑠 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑠 ≠ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
18	13, 17	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ∧ ¬ (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))
19	7, 18	xchbinxr 337	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
20	19	ralbii 3108	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
21		ralnex 3088	. . . 4 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ¬ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
22	20, 21	bitri 277	. . 3 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))
23	22	anbi2i 632	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
24	6, 23	bitr4di 291	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = 𝑈)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  LSubSpclss 20998   ⋖_L clcv 39642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-lcv 39643

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  39661  lcvexchlem5  39662