HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopaddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopaddi 31990
Description: Additive property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopl.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopaddi ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnopaddi
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11213 . . 3 1 ∈ ℂ
2 lnopl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinOp
32lnopli 31987 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
41, 3mp3an1 1450 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
5 ax-hvmulid 31025 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
65fvoveq1d 7453 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
76adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
82lnopfi 31988 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
98ffvelcdmi 7103 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
10 ax-hvmulid 31025 . . . . 5 ((𝑇𝐴) ∈ ℋ → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
1211adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (1 · (𝑇𝐴)) = (𝑇𝐴))
1312oveq1d 7446 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((1 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
144, 7, 133eqtr3d 2785 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156  chba 30938   + cva 30939   · csm 30940  LinOpclo 30966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-1cn 11213  ax-hilex 31018  ax-hvmulid 31025
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-lnop 31860
This theorem is referenced by:  lnopaddmuli  31992  lnophsi  32020  lnopeq0lem1  32024  lnophmlem2  32036  imaelshi  32077  cnlnadjlem2  32087
  Copyright terms: Public domain W3C validator