Theorem lnopaddi 31491

Description: Additive property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 11-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopaddi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnopaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11170	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		lnopl.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopli 31488	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘𝐴)) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
4	1, 3	mp3an1 1446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵)) = ((1 ·ℎ (𝑇‘𝐴)) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
5		ax-hvmulid 30526	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐴) = 𝐴)
6	5	fvoveq1d 7433	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)))
7	6	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵)) = (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)))
8	2	lnopfi 31489	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
9	8	ffvelcdmi 7084	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
10		ax-hvmulid 30526	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘𝐴))
12	11	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘𝐴))
13	12	oveq1d 7426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((1 ·ℎ (𝑇‘𝐴)) +ℎ (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
14	4, 7, 13	3eqtr3d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  1c1 11113   ℋchba 30439   +_ℎ cva 30440   ·_ℎ csm 30441  LinOpclo 30467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-1cn 11170  ax-hilex 30519  ax-hvmulid 30526

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-lnop 31361

This theorem is referenced by:  lnopaddmuli  31493  lnophsi  31521  lnopeq0lem1  31525  lnophmlem2  31537  imaelshi  31578  cnlnadjlem2  31588