HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopaddmuli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopaddmuli 29911
Description: Sum/product property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopl.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopaddmuli ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (𝐴 · 𝐶))) = ((𝑇𝐵) + (𝐴 · (𝑇𝐶))))

Proof of Theorem lnopaddmuli
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 28951 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
2 lnopl.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinOp
32lnopaddi 29909 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (𝐴 · 𝐶))) = ((𝑇𝐵) + (𝑇‘(𝐴 · 𝐶))))
41, 3sylan2 596 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(𝐵 + (𝐴 · 𝐶))) = ((𝑇𝐵) + (𝑇‘(𝐴 · 𝐶))))
543impb 1116 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (𝐴 · 𝐶))) = ((𝑇𝐵) + (𝑇‘(𝐴 · 𝐶))))
653com12 1124 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (𝐴 · 𝐶))) = ((𝑇𝐵) + (𝑇‘(𝐴 · 𝐶))))
72lnopmuli 29910 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝑇𝐶)))
873adant2 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝑇𝐶)))
98oveq2d 7189 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐵) + (𝑇‘(𝐴 · 𝐶))) = ((𝑇𝐵) + (𝐴 · (𝑇𝐶))))
106, 9eqtrd 2774 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (𝐴 · 𝐶))) = ((𝑇𝐵) + (𝐴 · (𝑇𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6340  (class class class)co 7173  cc 10616  chba 28857   + cva 28858   · csm 28859  LinOpclo 28885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-hilex 28937  ax-hfvadd 28938  ax-hvass 28940  ax-hv0cl 28941  ax-hvaddid 28942  ax-hfvmul 28943  ax-hvmulid 28944  ax-hvdistr2 28947  ax-hvmul0 28948
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-ltxr 10761  df-sub 10953  df-neg 10954  df-hvsub 28909  df-lnop 29779
This theorem is referenced by:  lnopsubi  29912  lnopeq0lem1  29943  lnophmlem2  29955
  Copyright terms: Public domain W3C validator