HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopeq0lem1 31767
Description: Lemma for lnopeq0i 31769. Apply the generalized polarization identity polid2i 30919 to the quadratic form ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ), ๐‘ฅ). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnopeq0lem1.2 ๐ด โˆˆ โ„‹
lnopeq0lem1.3 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
Proof of Theorem lnopeq0lem1
StepHypRef Expression
1 lnopeq0lem1.2 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 lnopeq0.1 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
32lnopfi 31731 . . . . 5 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
43ffvelcdmi 7079 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹
6 lnopeq0lem1.3 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„‹
73ffvelcdmi 7079 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹
95, 6, 8, 1polid2i 30919 . 2 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = ((((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
102lnopaddi 31733 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
111, 6, 10mp2an 689 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1211oveq1i 7415 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))
132lnopsubi 31736 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
141, 6, 13mp2an 689 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1514oveq1i 7415 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
1612, 15oveq12i 7417 . . . 4 (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
17 ax-icn 11171 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
182lnopaddmuli 31735 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
1917, 1, 6, 18mp3an 1457 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2019oveq1i 7415 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
212lnopsubmuli 31737 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
2217, 1, 6, 21mp3an 1457 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2322oveq1i 7415 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
2420, 23oveq12i 7417 . . . . 5 (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
2524oveq2i 7416 . . . 4 (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
2616, 25oveq12i 7417 . . 3 ((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) = (((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
2726oveq1i 7415 . 2 (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4) = ((((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
289, 27eqtr4i 2757 1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  4c4 12273   โ„‹chba 30681   +โ„Ž cva 30682   ยทโ„Ž csm 30683   ยทih csp 30684   โˆ’โ„Ž cmv 30687  LinOpclo 30709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-hvsub 30733  df-lnop 31603
This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  31768
  Copyright terms: Public domain W3C validator