Theorem lnopeq0lem1 32472

Description: Lemma for lnopeq0i 32474. Apply the generalized polarization identity polid2i 31624 to the quadratic form ((𝑇‘𝑥), 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq0lem1.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopeq0lem1.3	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopeq0lem1	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq0lem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		lnopeq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopfi 32436	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelcdmi 7079	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
6		lnopeq0lem1.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7	3	ffvelcdmi 7079	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
9	5, 6, 8, 1	polid2i 31624	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
10	2	lnopaddi 32438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
11	1, 6, 10	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))
12	11	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
13	2	lnopsubi 32441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
14	1, 6, 13	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵))
15	14	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
16	12, 15	oveq12i 7428	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
17		ax-icn 11186	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
18	2	lnopaddmuli 32440	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
19	17, 1, 6, 18	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	19	oveq1i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
21	2	lnopsubmuli 32442	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
22	17, 1, 6, 21	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
23	22	oveq1i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
24	20, 23	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
25	24	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
26	16, 25	oveq12i 7428	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
27	26	oveq1i 7426	. 2 ⊢ (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
28	9, 27	eqtr4i 2788	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468   / cdiv 11898  4c4 12324   ℋchba 31386   +_ℎ cva 31387   ·_ℎ csm 31388   ·_ih csp 31389   −_ℎ cmv 31392  LinOpclo 31414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-hilex 31466  ax-hfvadd 31467  ax-hvass 31469  ax-hv0cl 31470  ax-hvaddid 31471  ax-hfvmul 31472  ax-hvmulid 31473  ax-hvdistr2 31476  ax-hvmul0 31477  ax-hfi 31546  ax-his1 31549  ax-his2 31550  ax-his3 31551

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-hvsub 31438  df-lnop 32308

This theorem is used by:  lnopeq0lem2  32473