HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0lem1 30655
Description: Lemma for lnopeq0i 30657. Apply the generalized polarization identity polid2i 29807 to the quadratic form ((𝑇𝑥), 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq0.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq0lem1.2 𝐴 ∈ ℋ
lnopeq0lem1.3 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem1 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1
StepHypRef Expression
1 lnopeq0lem1.2 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 lnopeq0.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinOp
32lnopfi 30619 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
43ffvelcdmi 7021 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
6 lnopeq0lem1.3 . . 3 𝐵 ∈ ℋ
73ffvelcdmi 7021 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
95, 6, 8, 1polid2i 29807 . 2 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = ((((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
102lnopaddi 30621 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
111, 6, 10mp2an 690 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
1211oveq1i 7352 . . . . 5 ((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵))
132lnopsubi 30624 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
141, 6, 13mp2an 690 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))
1514oveq1i 7352 . . . . 5 ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))
1612, 15oveq12i 7354 . . . 4 (((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) = ((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)))
17 ax-icn 11036 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
182lnopaddmuli 30623 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
1917, 1, 6, 18mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))
2019oveq1i 7352 . . . . . 6 ((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵)))
212lnopsubmuli 30625 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
2217, 1, 6, 21mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))
2322oveq1i 7352 . . . . . 6 ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))) = (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))
2420, 23oveq12i 7354 . . . . 5 (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))) = ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))
2524oveq2i 7353 . . . 4 (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))) = (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))
2616, 25oveq12i 7354 . . 3 ((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) = (((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))))
2726oveq1i 7352 . 2 (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4) = ((((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
289, 27eqtr4i 2768 1 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6484  (class class class)co 7342  cc 10975  ici 10979   + caddc 10980   · cmul 10982  cmin 11311   / cdiv 11738  4c4 12136  chba 29569   + cva 29570   · csm 29571   ·ih csp 29572   cmv 29575  LinOpclo 29597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-hilex 29649  ax-hfvadd 29650  ax-hvass 29652  ax-hv0cl 29653  ax-hvaddid 29654  ax-hfvmul 29655  ax-hvmulid 29656  ax-hvdistr2 29659  ax-hvmul0 29660  ax-hfi 29729  ax-his1 29732  ax-his2 29733  ax-his3 29734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-id 5523  df-po 5537  df-so 5538  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-hvsub 29621  df-lnop 30491
This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  30656
  Copyright terms: Public domain W3C validator