Theorem lnopeq0lem1 32084

Description: Lemma for lnopeq0i 32086. Apply the generalized polarization identity polid2i 31236 to the quadratic form ((𝑇‘𝑥), 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq0lem1.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopeq0lem1.3	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopeq0lem1	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq0lem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		lnopeq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopfi 32048	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelcdmi 7030	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
6		lnopeq0lem1.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7	3	ffvelcdmi 7030	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
9	5, 6, 8, 1	polid2i 31236	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
10	2	lnopaddi 32050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
11	1, 6, 10	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))
12	11	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
13	2	lnopsubi 32053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
14	1, 6, 13	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵))
15	14	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
16	12, 15	oveq12i 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
17		ax-icn 11089	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
18	2	lnopaddmuli 32052	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
19	17, 1, 6, 18	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	19	oveq1i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
21	2	lnopsubmuli 32054	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
22	17, 1, 6, 21	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
23	22	oveq1i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
24	20, 23	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
25	24	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
26	16, 25	oveq12i 7372	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
27	26	oveq1i 7370	. 2 ⊢ (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
28	9, 27	eqtr4i 2763	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ici 11032   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11368   / cdiv 11798  4c4 12206   ℋchba 30998   +_ℎ cva 30999   ·_ℎ csm 31000   ·_ih csp 31001   −_ℎ cmv 31004  LinOpclo 31026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-hilex 31078  ax-hfvadd 31079  ax-hvass 31081  ax-hv0cl 31082  ax-hvaddid 31083  ax-hfvmul 31084  ax-hvmulid 31085  ax-hvdistr2 31088  ax-hvmul0 31089  ax-hfi 31158  ax-his1 31161  ax-his2 31162  ax-his3 31163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-hvsub 31050  df-lnop 31920

This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  32085