HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0lem1 29709
Description: Lemma for lnopeq0i 29711. Apply the generalized polarization identity polid2i 28861 to the quadratic form ((𝑇𝑥), 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq0.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq0lem1.2 𝐴 ∈ ℋ
lnopeq0lem1.3 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem1 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1
StepHypRef Expression
1 lnopeq0lem1.2 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 lnopeq0.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinOp
32lnopfi 29673 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
43ffvelrni 6842 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
6 lnopeq0lem1.3 . . 3 𝐵 ∈ ℋ
73ffvelrni 6842 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
95, 6, 8, 1polid2i 28861 . 2 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = ((((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
102lnopaddi 29675 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
111, 6, 10mp2an 688 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
1211oveq1i 7155 . . . . 5 ((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵))
132lnopsubi 29678 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
141, 6, 13mp2an 688 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))
1514oveq1i 7155 . . . . 5 ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))
1612, 15oveq12i 7157 . . . 4 (((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) = ((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)))
17 ax-icn 10584 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
182lnopaddmuli 29677 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
1917, 1, 6, 18mp3an 1452 . . . . . . 7 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))
2019oveq1i 7155 . . . . . 6 ((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵)))
212lnopsubmuli 29679 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
2217, 1, 6, 21mp3an 1452 . . . . . . 7 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))
2322oveq1i 7155 . . . . . 6 ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))) = (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))
2420, 23oveq12i 7157 . . . . 5 (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))) = ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))
2524oveq2i 7156 . . . 4 (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))) = (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))
2616, 25oveq12i 7157 . . 3 ((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) = (((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))))
2726oveq1i 7155 . 2 (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4) = ((((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
289, 27eqtr4i 2844 1 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  4c4 11682  chba 28623   + cva 28624   · csm 28625   ·ih csp 28626   cmv 28629  LinOpclo 28651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-hvsub 28675  df-lnop 29545
This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  29710
  Copyright terms: Public domain W3C validator