Theorem lnopeq0lem1 30367

Description: Lemma for lnopeq0i 30369. Apply the generalized polarization identity polid2i 29519 to the quadratic form ((𝑇‘𝑥), 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq0lem1.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopeq0lem1.3	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopeq0lem1	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq0lem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		lnopeq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopfi 30331	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelrni 6960	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
6		lnopeq0lem1.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7	3	ffvelrni 6960	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
9	5, 6, 8, 1	polid2i 29519	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
10	2	lnopaddi 30333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
11	1, 6, 10	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))
12	11	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
13	2	lnopsubi 30336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
14	1, 6, 13	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵))
15	14	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
16	12, 15	oveq12i 7287	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
17		ax-icn 10930	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
18	2	lnopaddmuli 30335	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
19	17, 1, 6, 18	mp3an 1460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	19	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
21	2	lnopsubmuli 30337	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
22	17, 1, 6, 21	mp3an 1460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
23	22	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
24	20, 23	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
25	24	oveq2i 7286	. . . 4 ⊢ (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
26	16, 25	oveq12i 7287	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
27	26	oveq1i 7285	. 2 ⊢ (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
28	9, 27	eqtr4i 2769	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205   / cdiv 11632  4c4 12030   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282   ·_ℎ csm 29283   ·_ih csp 29284   −_ℎ cmv 29287  LinOpclo 29309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-hvsub 29333  df-lnop 30203

This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  30368