Theorem lnopeq0lem1 32098

Description: Lemma for lnopeq0i 32100. Apply the generalized polarization identity polid2i 31250 to the quadratic form ((𝑇‘𝑥), 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq0lem1.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopeq0lem1.3	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopeq0lem1	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq0lem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		lnopeq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopfi 32062	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelcdmi 7028	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
6		lnopeq0lem1.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7	3	ffvelcdmi 7028	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
9	5, 6, 8, 1	polid2i 31250	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
10	2	lnopaddi 32064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
11	1, 6, 10	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))
12	11	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
13	2	lnopsubi 32067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
14	1, 6, 13	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵))
15	14	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
16	12, 15	oveq12i 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
17		ax-icn 11092	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
18	2	lnopaddmuli 32066	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
19	17, 1, 6, 18	mp3an 1470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	19	oveq1i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
21	2	lnopsubmuli 32068	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
22	17, 1, 6, 21	mp3an 1470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
23	22	oveq1i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
24	20, 23	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
25	24	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
26	16, 25	oveq12i 7372	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
27	26	oveq1i 7370	. 2 ⊢ (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
28	9, 27	eqtr4i 2767	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ici 11035   + caddc 11036   · cmul 11038   − cmin 11372   / cdiv 11802  4c4 12233   ℋchba 31012   +_ℎ cva 31013   ·_ℎ csm 31014   ·_ih csp 31015   −_ℎ cmv 31018  LinOpclo 31040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-hilex 31092  ax-hfvadd 31093  ax-hvass 31095  ax-hv0cl 31096  ax-hvaddid 31097  ax-hfvmul 31098  ax-hvmulid 31099  ax-hvdistr2 31102  ax-hvmul0 31103  ax-hfi 31172  ax-his1 31175  ax-his2 31176  ax-his3 31177

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-hvsub 31064  df-lnop 31934

This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  32099