HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0lem1 31843
Description: Lemma for lnopeq0i 31845. Apply the generalized polarization identity polid2i 30995 to the quadratic form ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ), ๐‘ฅ). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnopeq0lem1.2 ๐ด โˆˆ โ„‹
lnopeq0lem1.3 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1
StepHypRef Expression
1 lnopeq0lem1.2 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 lnopeq0.1 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
32lnopfi 31807 . . . . 5 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
43ffvelcdmi 7098 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹
6 lnopeq0lem1.3 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„‹
73ffvelcdmi 7098 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹
95, 6, 8, 1polid2i 30995 . 2 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = ((((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
102lnopaddi 31809 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
111, 6, 10mp2an 690 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1211oveq1i 7436 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))
132lnopsubi 31812 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
141, 6, 13mp2an 690 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1514oveq1i 7436 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
1612, 15oveq12i 7438 . . . 4 (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
17 ax-icn 11207 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
182lnopaddmuli 31811 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
1917, 1, 6, 18mp3an 1457 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2019oveq1i 7436 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
212lnopsubmuli 31813 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
2217, 1, 6, 21mp3an 1457 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2322oveq1i 7436 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
2420, 23oveq12i 7438 . . . . 5 (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
2524oveq2i 7437 . . . 4 (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
2616, 25oveq12i 7438 . . 3 ((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) = (((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
2726oveq1i 7436 . 2 (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4) = ((((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
289, 27eqtr4i 2759 1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  ici 11150   + caddc 11151   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484   / cdiv 11911  4c4 12309   โ„‹chba 30757   +โ„Ž cva 30758   ยทโ„Ž csm 30759   ยทih csp 30760   โˆ’โ„Ž cmv 30763  LinOpclo 30785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hvass 30840  ax-hv0cl 30841  ax-hvaddid 30842  ax-hfvmul 30843  ax-hvmulid 30844  ax-hvdistr2 30847  ax-hvmul0 30848  ax-hfi 30917  ax-his1 30920  ax-his2 30921  ax-his3 30922
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-hvsub 30809  df-lnop 31679
This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  31844
  Copyright terms: Public domain W3C validator