HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopeq0lem1 31258
Description: Lemma for lnopeq0i 31260. Apply the generalized polarization identity polid2i 30410 to the quadratic form ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ), ๐‘ฅ). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnopeq0lem1.2 ๐ด โˆˆ โ„‹
lnopeq0lem1.3 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
Proof of Theorem lnopeq0lem1
StepHypRef Expression
1 lnopeq0lem1.2 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 lnopeq0.1 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
32lnopfi 31222 . . . . 5 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
43ffvelcdmi 7086 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹
6 lnopeq0lem1.3 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„‹
73ffvelcdmi 7086 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹
95, 6, 8, 1polid2i 30410 . 2 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = ((((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
102lnopaddi 31224 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
111, 6, 10mp2an 691 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1211oveq1i 7419 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))
132lnopsubi 31227 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
141, 6, 13mp2an 691 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1514oveq1i 7419 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
1612, 15oveq12i 7421 . . . 4 (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
17 ax-icn 11169 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
182lnopaddmuli 31226 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
1917, 1, 6, 18mp3an 1462 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2019oveq1i 7419 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
212lnopsubmuli 31228 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
2217, 1, 6, 21mp3an 1462 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2322oveq1i 7419 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
2420, 23oveq12i 7421 . . . . 5 (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
2524oveq2i 7420 . . . 4 (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
2616, 25oveq12i 7421 . . 3 ((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) = (((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
2726oveq1i 7419 . 2 (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4) = ((((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
289, 27eqtr4i 2764 1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  4c4 12269   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทโ„Ž csm 30174   ยทih csp 30175   โˆ’โ„Ž cmv 30178  LinOpclo 30200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-hvsub 30224  df-lnop 31094
This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  31259
  Copyright terms: Public domain W3C validator