Theorem lnopeq0lem1 32526

Description: Lemma for lnopeq0i 32528. Apply the generalized polarization identity polid2i 31678 to the quadratic form ((𝑇‘𝑥), 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopeq0.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq0lem1.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnopeq0lem1.3	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
lnopeq0lem1	⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq0lem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		lnopeq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopfi 32490	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelcdmi 7072	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
6		lnopeq0lem1.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7	3	ffvelcdmi 7072	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
9	5, 6, 8, 1	polid2i 31678	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
10	2	lnopaddi 32492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
11	1, 6, 10	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))
12	11	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
13	2	lnopsubi 32495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
14	1, 6, 13	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵))
15	14	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
16	12, 15	oveq12i 7421	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
17		ax-icn 11216	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
18	2	lnopaddmuli 32494	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
19	17, 1, 6, 18	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	19	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
21	2	lnopsubmuli 32496	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
22	17, 1, 6, 21	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
23	22	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
24	20, 23	oveq12i 7421	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
25	24	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
26	16, 25	oveq12i 7421	. . 3 ⊢ ((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
27	26	oveq1i 7419	. 2 ⊢ (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4) = ((((((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · ((((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − (((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
28	9, 27	eqtr4i 2786	1 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  ici 11159   + caddc 11160   · cmul 11162   − cmin 11498   / cdiv 11928  4c4 12354   ℋchba 31440   +_ℎ cva 31441   ·_ℎ csm 31442   ·_ih csp 31443   −_ℎ cmv 31446  LinOpclo 31468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-hilex 31520  ax-hfvadd 31521  ax-hvass 31523  ax-hv0cl 31524  ax-hvaddid 31525  ax-hfvmul 31526  ax-hvmulid 31527  ax-hvdistr2 31530  ax-hvmul0 31531  ax-hfi 31600  ax-his1 31603  ax-his2 31604  ax-his3 31605

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-hvsub 31492  df-lnop 32362

This theorem is used by:  lnopeq0lem2  32527