HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0lem1 32025
Description: Lemma for lnopeq0i 32027. Apply the generalized polarization identity polid2i 31177 to the quadratic form ((𝑇𝑥), 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq0.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq0lem1.2 𝐴 ∈ ℋ
lnopeq0lem1.3 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem1 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1
StepHypRef Expression
1 lnopeq0lem1.2 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 lnopeq0.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinOp
32lnopfi 31989 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
43ffvelcdmi 7102 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
6 lnopeq0lem1.3 . . 3 𝐵 ∈ ℋ
73ffvelcdmi 7102 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
95, 6, 8, 1polid2i 31177 . 2 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = ((((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
102lnopaddi 31991 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
111, 6, 10mp2an 692 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
1211oveq1i 7442 . . . . 5 ((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵))
132lnopsubi 31994 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
141, 6, 13mp2an 692 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))
1514oveq1i 7442 . . . . 5 ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))
1612, 15oveq12i 7444 . . . 4 (((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) = ((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)))
17 ax-icn 11215 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
182lnopaddmuli 31993 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
1917, 1, 6, 18mp3an 1462 . . . . . . 7 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))
2019oveq1i 7442 . . . . . 6 ((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵)))
212lnopsubmuli 31995 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
2217, 1, 6, 21mp3an 1462 . . . . . . 7 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))
2322oveq1i 7442 . . . . . 6 ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))) = (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))
2420, 23oveq12i 7444 . . . . 5 (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))) = ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))
2524oveq2i 7443 . . . 4 (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))) = (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))
2616, 25oveq12i 7444 . . 3 ((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) = (((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))))
2726oveq1i 7442 . 2 (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4) = ((((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
289, 27eqtr4i 2767 1 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921  4c4 12324  chba 30939   + cva 30940   · csm 30941   ·ih csp 30942   cmv 30945  LinOpclo 30967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-hilex 31019  ax-hfvadd 31020  ax-hvass 31022  ax-hv0cl 31023  ax-hvaddid 31024  ax-hfvmul 31025  ax-hvmulid 31026  ax-hvdistr2 31029  ax-hvmul0 31030  ax-hfi 31099  ax-his1 31102  ax-his2 31103  ax-his3 31104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-hvsub 30991  df-lnop 31861
This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  32026
  Copyright terms: Public domain W3C validator