HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0lem1 30996
Description: Lemma for lnopeq0i 30998. Apply the generalized polarization identity polid2i 30148 to the quadratic form ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ), ๐‘ฅ). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnopeq0lem1.2 ๐ด โˆˆ โ„‹
lnopeq0lem1.3 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1
StepHypRef Expression
1 lnopeq0lem1.2 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 lnopeq0.1 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
32lnopfi 30960 . . . . 5 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
43ffvelcdmi 7038 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹
6 lnopeq0lem1.3 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„‹
73ffvelcdmi 7038 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹
95, 6, 8, 1polid2i 30148 . 2 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = ((((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
102lnopaddi 30962 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
111, 6, 10mp2an 691 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1211oveq1i 7371 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))
132lnopsubi 30965 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
141, 6, 13mp2an 691 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1514oveq1i 7371 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
1612, 15oveq12i 7373 . . . 4 (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
17 ax-icn 11118 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
182lnopaddmuli 30964 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
1917, 1, 6, 18mp3an 1462 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2019oveq1i 7371 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
212lnopsubmuli 30966 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
2217, 1, 6, 21mp3an 1462 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2322oveq1i 7371 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
2420, 23oveq12i 7373 . . . . 5 (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
2524oveq2i 7372 . . . 4 (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
2616, 25oveq12i 7373 . . 3 ((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) = (((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
2726oveq1i 7371 . 2 (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4) = ((((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท ((((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
289, 27eqtr4i 2764 1 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (((((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  4c4 12218   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912   ยทih csp 29913   โˆ’โ„Ž cmv 29916  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-hvsub 29962  df-lnop 30832
This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  30997
  Copyright terms: Public domain W3C validator