Theorem lnopfi 32174

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 32064	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6519   ℋchba 31124  LinOpclo 31152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-hilex 31204

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-map 8812  df-lnop 32046

This theorem is referenced by:  lnopaddi  32176  lnopsubi  32179  hoddii  32194  nmlnop0iALT  32200  nmlnopgt0i  32202  lnopmi  32205  lnophsi  32206  lnophdi  32207  lnopcoi  32208  lnopco0i  32209  lnopeq0lem1  32210  lnopeq0i  32212  lnopeqi  32213  lnopunilem1  32215  lnopunilem2  32216  lnophmlem2  32222  lnophmi  32223  nmbdoplbi  32229  nmcopexi  32232  nmcoplbi  32233  lnopconi  32239  imaelshi  32263  rnelshi  32264  cnlnadjlem2  32273  cnlnadjlem6  32277  cnlnadjlem7  32278  cnlnadjeui  32282  nmopcoi  32300  bdopcoi  32303  hmopidmchi  32356  hmopidmpji  32357