Theorem lnopfi 31896

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 31786	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6526   ℋchba 30846  LinOpclo 30874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-hilex 30926

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-map 8840  df-lnop 31768

This theorem is referenced by:  lnopaddi  31898  lnopsubi  31901  hoddii  31916  nmlnop0iALT  31922  nmlnopgt0i  31924  lnopmi  31927  lnophsi  31928  lnophdi  31929  lnopcoi  31930  lnopco0i  31931  lnopeq0lem1  31932  lnopeq0i  31934  lnopeqi  31935  lnopunilem1  31937  lnopunilem2  31938  lnophmlem2  31944  lnophmi  31945  nmbdoplbi  31951  nmcopexi  31954  nmcoplbi  31955  lnopconi  31961  imaelshi  31985  rnelshi  31986  cnlnadjlem2  31995  cnlnadjlem6  31999  cnlnadjlem7  32000  cnlnadjeui  32004  nmopcoi  32022  bdopcoi  32025  hmopidmchi  32078  hmopidmpji  32079