Theorem lnopfi 32062

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 31952	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2121  ⟶wf 6485   ℋchba 31012  LinOpclo 31040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-hilex 31092

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-lnop 31934

This theorem is referenced by:  lnopaddi  32064  lnopsubi  32067  hoddii  32082  nmlnop0iALT  32088  nmlnopgt0i  32090  lnopmi  32093  lnophsi  32094  lnophdi  32095  lnopcoi  32096  lnopco0i  32097  lnopeq0lem1  32098  lnopeq0i  32100  lnopeqi  32101  lnopunilem1  32103  lnopunilem2  32104  lnophmlem2  32110  lnophmi  32111  nmbdoplbi  32117  nmcopexi  32120  nmcoplbi  32121  lnopconi  32127  imaelshi  32151  rnelshi  32152  cnlnadjlem2  32161  cnlnadjlem6  32165  cnlnadjlem7  32166  cnlnadjeui  32170  nmopcoi  32188  bdopcoi  32191  hmopidmchi  32244  hmopidmpji  32245