Theorem lnopfi 32490

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 32380	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6524   ℋchba 31440  LinOpclo 31468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-hilex 31520

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8828  df-lnop 32362

This theorem is used by:  lnopaddi  32492  lnopsubi  32495  hoddii  32510  nmlnop0iALT  32516  nmlnopgt0i  32518  lnopmi  32521  lnophsi  32522  lnophdi  32523  lnopcoi  32524  lnopco0i  32525  lnopeq0lem1  32526  lnopeq0i  32528  lnopeqi  32529  lnopunilem1  32531  lnopunilem2  32532  lnophmlem2  32538  lnophmi  32539  nmbdoplbi  32545  nmcopexi  32548  nmcoplbi  32549  lnopconi  32555  imaelshi  32579  rnelshi  32580  cnlnadjlem2  32589  cnlnadjlem6  32593  cnlnadjlem7  32594  cnlnadjeui  32598  nmopcoi  32616  bdopcoi  32619  hmopidmchi  32672  hmopidmpji  32673