Theorem lnopfi 32332

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 32222	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2142  ⟶wf 6532   ℋchba 31282  LinOpclo 31310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-hilex 31362

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-lnop 32204

This theorem is used by:  lnopaddi  32334  lnopsubi  32337  hoddii  32352  nmlnop0iALT  32358  nmlnopgt0i  32360  lnopmi  32363  lnophsi  32364  lnophdi  32365  lnopcoi  32366  lnopco0i  32367  lnopeq0lem1  32368  lnopeq0i  32370  lnopeqi  32371  lnopunilem1  32373  lnopunilem2  32374  lnophmlem2  32380  lnophmi  32381  nmbdoplbi  32387  nmcopexi  32390  nmcoplbi  32391  lnopconi  32397  imaelshi  32421  rnelshi  32422  cnlnadjlem2  32431  cnlnadjlem6  32435  cnlnadjlem7  32436  cnlnadjeui  32440  nmopcoi  32458  bdopcoi  32461  hmopidmchi  32514  hmopidmpji  32515