Theorem lnopfi 32436

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 32326	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6533   ℋchba 31386  LinOpclo 31414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-hilex 31466

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8831  df-lnop 32308

This theorem is used by:  lnopaddi  32438  lnopsubi  32441  hoddii  32456  nmlnop0iALT  32462  nmlnopgt0i  32464  lnopmi  32467  lnophsi  32468  lnophdi  32469  lnopcoi  32470  lnopco0i  32471  lnopeq0lem1  32472  lnopeq0i  32474  lnopeqi  32475  lnopunilem1  32477  lnopunilem2  32478  lnophmlem2  32484  lnophmi  32485  nmbdoplbi  32491  nmcopexi  32494  nmcoplbi  32495  lnopconi  32501  imaelshi  32525  rnelshi  32526  cnlnadjlem2  32535  cnlnadjlem6  32539  cnlnadjlem7  32540  cnlnadjeui  32544  nmopcoi  32562  bdopcoi  32565  hmopidmchi  32618  hmopidmpji  32619