Theorem lnopfi 30317

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 30207	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6423   ℋchba 29267  LinOpclo 29295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-hilex 29347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-fv 6435  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-map 8605  df-lnop 30189

This theorem is referenced by:  lnopaddi  30319  lnopsubi  30322  hoddii  30337  nmlnop0iALT  30343  nmlnopgt0i  30345  lnopmi  30348  lnophsi  30349  lnophdi  30350  lnopcoi  30351  lnopco0i  30352  lnopeq0lem1  30353  lnopeq0i  30355  lnopeqi  30356  lnopunilem1  30358  lnopunilem2  30359  lnophmlem2  30365  lnophmi  30366  nmbdoplbi  30372  nmcopexi  30375  nmcoplbi  30376  lnopconi  30382  imaelshi  30406  rnelshi  30407  cnlnadjlem2  30416  cnlnadjlem6  30420  cnlnadjlem7  30421  cnlnadjeui  30425  nmopcoi  30443  bdopcoi  30446  hmopidmchi  30499  hmopidmpji  30500