Theorem lnopfi 32571

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 32461	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6534   ℋchba 31521  LinOpclo 31549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-hilex 31601

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-lnop 32443

This theorem is used by:  lnopaddi  32573  lnopsubi  32576  hoddii  32591  nmlnop0iALT  32597  nmlnopgt0i  32599  lnopmi  32602  lnophsi  32603  lnophdi  32604  lnopcoi  32605  lnopco0i  32606  lnopeq0lem1  32607  lnopeq0i  32609  lnopeqi  32610  lnopunilem1  32612  lnopunilem2  32613  lnophmlem2  32619  lnophmi  32620  nmbdoplbi  32626  nmcopexi  32629  nmcoplbi  32630  lnopconi  32636  imaelshi  32660  rnelshi  32661  cnlnadjlem2  32670  cnlnadjlem6  32674  cnlnadjlem7  32675  cnlnadjeui  32679  nmopcoi  32697  bdopcoi  32700  hmopidmchi  32753  hmopidmpji  32754