Theorem lnopfi 30232

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 30122	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6414   ℋchba 29182  LinOpclo 29210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-hilex 29262

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-lnop 30104

This theorem is referenced by:  lnopaddi  30234  lnopsubi  30237  hoddii  30252  nmlnop0iALT  30258  nmlnopgt0i  30260  lnopmi  30263  lnophsi  30264  lnophdi  30265  lnopcoi  30266  lnopco0i  30267  lnopeq0lem1  30268  lnopeq0i  30270  lnopeqi  30271  lnopunilem1  30273  lnopunilem2  30274  lnophmlem2  30280  lnophmi  30281  nmbdoplbi  30287  nmcopexi  30290  nmcoplbi  30291  lnopconi  30297  imaelshi  30321  rnelshi  30322  cnlnadjlem2  30331  cnlnadjlem6  30335  cnlnadjlem7  30336  cnlnadjeui  30340  nmopcoi  30358  bdopcoi  30361  hmopidmchi  30414  hmopidmpji  30415