Theorem lnopfi 32001

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 31891	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6569   ℋchba 30951  LinOpclo 30979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-hilex 31031

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-lnop 31873

This theorem is referenced by:  lnopaddi  32003  lnopsubi  32006  hoddii  32021  nmlnop0iALT  32027  nmlnopgt0i  32029  lnopmi  32032  lnophsi  32033  lnophdi  32034  lnopcoi  32035  lnopco0i  32036  lnopeq0lem1  32037  lnopeq0i  32039  lnopeqi  32040  lnopunilem1  32042  lnopunilem2  32043  lnophmlem2  32049  lnophmi  32050  nmbdoplbi  32056  nmcopexi  32059  nmcoplbi  32060  lnopconi  32066  imaelshi  32090  rnelshi  32091  cnlnadjlem2  32100  cnlnadjlem6  32104  cnlnadjlem7  32105  cnlnadjeui  32109  nmopcoi  32127  bdopcoi  32130  hmopidmchi  32183  hmopidmpji  32184