Theorem lnopfi 32025

Description: A linear Hilbert space operator is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopfi	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem lnopfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopl.1	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		lnopf 31915	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6487   ℋchba 30975  LinOpclo 31003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-hilex 31055

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8767  df-lnop 31897

This theorem is referenced by:  lnopaddi  32027  lnopsubi  32030  hoddii  32045  nmlnop0iALT  32051  nmlnopgt0i  32053  lnopmi  32056  lnophsi  32057  lnophdi  32058  lnopcoi  32059  lnopco0i  32060  lnopeq0lem1  32061  lnopeq0i  32063  lnopeqi  32064  lnopunilem1  32066  lnopunilem2  32067  lnophmlem2  32073  lnophmi  32074  nmbdoplbi  32080  nmcopexi  32083  nmcoplbi  32084  lnopconi  32090  imaelshi  32114  rnelshi  32115  cnlnadjlem2  32124  cnlnadjlem6  32128  cnlnadjlem7  32129  cnlnadjeui  32133  nmopcoi  32151  bdopcoi  32154  hmopidmchi  32207  hmopidmpji  32208