Theorem map0 8865

Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	⊢ 𝐴 ∈ V
map0.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
map0	⊢ ((𝐴 ↑m 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))

Proof of Theorem map0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		map0.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		map0g 8862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ↑m 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
4	1, 2, 3	mp2an 702	1 ⊢ ((𝐴 ↑m 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  ∅c0 4285  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-map 8805

This theorem is referenced by:  psrbas  21966  birthdaylem1  26993