Theorem birthdaylem1 27092

Description: Lemma for birthday 27095. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem1	⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6774	. . . 4 ⊢ (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
2	1	ss2abi 4019	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3		birthday.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4		birthday.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
5	2, 3, 4	3sstr4i 3987	. 2 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
6		fzfi 14007	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
7		fzfi 14007	. . . . 5 ⊢ (1...𝐾) ∈ Fin
8		mapvalg 8832	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
9	6, 7, 8	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
10	4, 9	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾))
11		mapfi 9304	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin)
12	6, 7, 11	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin
13	10, 12	eqeltri 2857	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
14		elfz1end 13581	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
15		ne0i 4293	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
16	14, 15	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
17	10	eqeq1i 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅)
18		ovex 7443	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
19		ovex 7443	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐾) ∈ V
20	18, 19	map0 8884	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅))
21	20	simplbi 501	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
22	17, 21	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
23	22	necon3i 2988	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅)
24	16, 23	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
25	5, 13, 24	3pm3.2i 1356	1 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {cab 2739   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  1c1 11100  ℕcn 12232  ...cfz 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  27094  birthday  27095