MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthdaylem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthdaylem1 26995
Description: Lemma for birthday 26998. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem1 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1
StepHypRef Expression
1 f1f 6803 . . . 4 (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
21ss2abi 4066 . . 3 {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3 birthday.t . . 3 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4 birthday.s . . 3 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
52, 3, 43sstr4i 4034 . 2 𝑇𝑆
6 fzfi 14014 . . . . 5 (1...𝑁) ∈ Fin
7 fzfi 14014 . . . . 5 (1...𝐾) ∈ Fin
8 mapvalg 8877 . . . . 5 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
96, 7, 8mp2an 692 . . . 4 ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
104, 9eqtr4i 2767 . . 3 𝑆 = ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾))
11 mapfi 9389 . . . 4 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin)
126, 7, 11mp2an 692 . . 3 ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin
1310, 12eqeltri 2836 . 2 𝑆 ∈ Fin
14 elfz1end 13595 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
15 ne0i 4340 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
1614, 15sylbi 217 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
1710eqeq1i 2741 . . . . 5 (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅)
18 ovex 7465 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ V
19 ovex 7465 . . . . . . 7 (1...𝐾) ∈ V
2018, 19map0 8928 . . . . . 6 (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅))
2120simplbi 497 . . . . 5 (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
2217, 21sylbi 217 . . . 4 (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
2322necon3i 2972 . . 3 ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅)
2416, 23syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
255, 13, 243pm3.2i 1339 1 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  {cab 2713  wne 2939  wss 3950  c0 4332  wf 6556  1-1wf1 6557  (class class class)co 7432  m cmap 8867  Fincfn 8986  1c1 11157  cn 12267  ...cfz 13548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26997  birthday  26998
  Copyright terms: Public domain W3C validator