Theorem birthdaylem1 25702

Description: Lemma for birthday 25705. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem1	⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6585	. . . 4 ⊢ (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
2	1	ss2abi 3966	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3		birthday.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4		birthday.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
5	2, 3, 4	3sstr4i 3930	. 2 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
6		fzfi 13444	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
7		fzfi 13444	. . . . 5 ⊢ (1...𝐾) ∈ Fin
8		mapvalg 8460	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
10	4, 9	eqtr4i 2765	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾))
11		mapfi 8906	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin)
12	6, 7, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin
13	10, 12	eqeltri 2830	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
14		elfz1end 13041	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
15		ne0i 4233	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
16	14, 15	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
17	10	eqeq1i 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅)
18		ovex 7216	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
19		ovex 7216	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐾) ∈ V
20	18, 19	map0 8510	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅))
21	20	simplbi 501	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
22	17, 21	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
23	22	necon3i 2967	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅)
24	16, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
25	5, 13, 24	3pm3.2i 1340	1 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2717   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3853  ∅c0 4221  ⟶wf 6346  –1-1→wf1 6347  (class class class)co 7183   ↑_m cmap 8450  Fincfn 8568  1c1 10629  ℕcn 11729  ...cfz 12994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  25704  birthday  25705