Theorem birthdaylem1 27009

Description: Lemma for birthday 27012. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem1	⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6805	. . . 4 ⊢ (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
2	1	ss2abi 4077	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3		birthday.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4		birthday.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
5	2, 3, 4	3sstr4i 4039	. 2 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
6		fzfi 14010	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
7		fzfi 14010	. . . . 5 ⊢ (1...𝐾) ∈ Fin
8		mapvalg 8875	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
10	4, 9	eqtr4i 2766	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾))
11		mapfi 9386	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin)
12	6, 7, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin
13	10, 12	eqeltri 2835	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
14		elfz1end 13591	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
15		ne0i 4347	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
16	14, 15	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
17	10	eqeq1i 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅)
18		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
19		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐾) ∈ V
20	18, 19	map0 8926	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅))
21	20	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
22	17, 21	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
23	22	necon3i 2971	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅)
24	16, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
25	5, 13, 24	3pm3.2i 1338	1 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cab 2712   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ⟶wf 6559  –1-1→wf1 6560  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  1c1 11154  ℕcn 12264  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  27011  birthday  27012