Theorem birthdaylem1 26882

Description: Lemma for birthday 26885. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem1	⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6793	. . . 4 ⊢ (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
2	1	ss2abi 4061	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3		birthday.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4		birthday.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
5	2, 3, 4	3sstr4i 4023	. 2 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
6		fzfi 13969	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
7		fzfi 13969	. . . . 5 ⊢ (1...𝐾) ∈ Fin
8		mapvalg 8854	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
9	6, 7, 8	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
10	4, 9	eqtr4i 2759	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾))
11		mapfi 9372	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin)
12	6, 7, 11	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin
13	10, 12	eqeltri 2825	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
14		elfz1end 13563	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
15		ne0i 4335	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
16	14, 15	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
17	10	eqeq1i 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅)
18		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
19		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐾) ∈ V
20	18, 19	map0 8905	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅))
21	20	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
22	17, 21	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
23	22	necon3i 2970	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅)
24	16, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
25	5, 13, 24	3pm3.2i 1337	1 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2705   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  ⟶wf 6544  –1-1→wf1 6545  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8844  Fincfn 8963  1c1 11139  ℕcn 12242  ...cfz 13516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26884  birthday  26885