MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthdaylem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthdaylem1 26101
Description: Lemma for birthday 26104. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem1 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1
StepHypRef Expression
1 f1f 6670 . . . 4 (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
21ss2abi 4000 . . 3 {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3 birthday.t . . 3 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4 birthday.s . . 3 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
52, 3, 43sstr4i 3964 . 2 𝑇𝑆
6 fzfi 13692 . . . . 5 (1...𝑁) ∈ Fin
7 fzfi 13692 . . . . 5 (1...𝐾) ∈ Fin
8 mapvalg 8625 . . . . 5 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
96, 7, 8mp2an 689 . . . 4 ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
104, 9eqtr4i 2769 . . 3 𝑆 = ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾))
11 mapfi 9115 . . . 4 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin)
126, 7, 11mp2an 689 . . 3 ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) ∈ Fin
1310, 12eqeltri 2835 . 2 𝑆 ∈ Fin
14 elfz1end 13286 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
15 ne0i 4268 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
1614, 15sylbi 216 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
1710eqeq1i 2743 . . . . 5 (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅)
18 ovex 7308 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ V
19 ovex 7308 . . . . . . 7 (1...𝐾) ∈ V
2018, 19map0 8675 . . . . . 6 (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅))
2120simplbi 498 . . . . 5 (((1...𝑁) ↑m (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
2217, 21sylbi 216 . . . 4 (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
2322necon3i 2976 . . 3 ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅)
2416, 23syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
255, 13, 243pm3.2i 1338 1 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  {cab 2715  wne 2943  wss 3887  c0 4256  wf 6429  1-1wf1 6430  (class class class)co 7275  m cmap 8615  Fincfn 8733  1c1 10872  cn 11973  ...cfz 13239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26103  birthday  26104
  Copyright terms: Public domain W3C validator