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Theorem mapdffval 41010
Description: Projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapdval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
mapdffval (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (mapdβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)})))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐻   𝑓,𝑠,𝑀,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓,𝑠)   𝑋(𝑀,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem mapdffval
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3487 . 2 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ 𝐾 ∈ V)
2 fveq2 6885 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = (LHypβ€˜πΎ))
3 mapdval.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3eqtr4di 2784 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = 𝐻)
5 fveq2 6885 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (DVecHβ€˜π‘˜) = (DVecHβ€˜πΎ))
65fveq1d 6887 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
76fveq2d 6889 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) = (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)))
86fveq2d 6889 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) = (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)))
9 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (ocHβ€˜π‘˜) = (ocHβ€˜πΎ))
109fveq1d 6887 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
116fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) = (LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)))
1211fveq1d 6887 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))
1310, 12fveq12d 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)))
1410, 13fveq12d 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))))
1514, 12eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)))
1613sseq1d 4008 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠 ↔ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠))
1715, 16anbi12d 630 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠) ↔ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)))
188, 17rabeqbidv 3443 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)} = {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)})
197, 18mpteq12dv 5232 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ↦ {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)}) = (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)}))
204, 19mpteq12dv 5232 . . 3 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ↦ {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)})) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)})))
21 df-mapd 41009 . . 3 mapd = (π‘˜ ∈ V ↦ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ↦ {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)})))
2220, 21, 3mptfvmpt 7225 . 2 (𝐾 ∈ V β†’ (mapdβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)})))
231, 22syl 17 1 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (mapdβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ∣ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“))) = ((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((LKerβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))β€˜π‘“)) βŠ† 𝑠)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  LSubSpclss 20778  LFnlclfn 38440  LKerclk 38468  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  ocHcoch 40731  mapdcmpd 41008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-mapd 41009
This theorem is referenced by:  mapdfval  41011
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