Theorem mapex 7946

Description: The class of all functions mapping one set to another is a set. Remark after Definition 10.24 of [Kunen] p. 31. (Contributed by Raph Levien, 4-Dec-2003.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mapex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem mapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵)}
2	1	fabexg 7944	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵)} ∈ V)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
4	3	ancli 558	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
5	4	ss2abi 4023	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵)}
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵)})
7	2, 6	ssexd 5300	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  {cab 2744  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ⟶wf 6539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547

This theorem is used by:  fnmap  8839  mapvalg  8842  wksfval  29996  measbase  34619  measval  34620  ismeas  34621  isrnmeas  34622  sticksstones4  42957  sticksstones14  42968  sticksstones20  42974  cnfex  45789  opabresexd  48065  upwlksfval  48941