Theorem sticksstones14 42852

Description: Sticks and stones with definitions as hypotheses. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones14.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones14.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones14.3	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
sticksstones14.4	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones14.5	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones14.6	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones14	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙   𝐴,𝑏,𝑖,𝑘,𝑙   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦,𝑎,𝑘,𝑙   𝐵,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙   𝐵,𝑏,𝑓,𝑗   𝐵,𝑖,𝑘   𝐹,𝑏,𝑖,𝑘   𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑥,𝑦   𝑔,𝐾,𝑖,𝑘,𝑎   𝑁,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑔,𝑖,𝑘   𝜑,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝑔,𝑏,𝜑,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑔)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑗,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑙)

Proof of Theorem sticksstones14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones14.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
3		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) → 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) → 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
5	4	ss2abdv 4025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ⊆ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0})
6		fzfid 14009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
7		nn0ex 12510	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
9		mapex 7937	. . . . . 6 ⊢ (((1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0} ∈ V)
10	6, 8, 9	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0} ∈ V)
11		ssexg 5294	. . . . 5 ⊢ (({𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ⊆ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0} ∧ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0} ∈ V) → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ∈ V)
12	5, 10, 11	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ∈ V)
13	2, 12	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14		sticksstones14.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		sticksstones14.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
16		sticksstones14.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
17		sticksstones14.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
18		sticksstones14.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
19	14, 15, 16, 17, 1, 18	sticksstones13 42851	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
20	13, 19	hasheqf1od 14389	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
21	14, 15	nn0addcld 12569	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ0)
22	21, 15, 18	sticksstones5 42842	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))
23	20, 22	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∀wral 3085  Vcvv 3461   ⊆ wss 3911  ifcif 4490  {csn 4592  ⟨cop 4598   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   < clt 11243   − cmin 11441  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  Ccbc 14338  ♯chash 14366  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738

This theorem is referenced by:  sticksstones15  42853