Theorem sticksstones14 42263

Description: Sticks and stones with definitions as hypotheses. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones14.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones14.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones14.3	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
sticksstones14.4	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones14.5	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones14.6	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones14	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑖,𝑘,𝑙   𝐴,𝑏,𝑖,𝑘,𝑙   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦,𝑎,𝑘,𝑙   𝐵,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙   𝐵,𝑏,𝑓,𝑗   𝐵,𝑖,𝑘   𝐹,𝑏,𝑖,𝑘   𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑥,𝑦   𝑔,𝐾,𝑖,𝑘,𝑎   𝑁,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑔,𝑖,𝑘   𝜑,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝑔,𝑏,𝜑,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑔)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑗,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑙)

Proof of Theorem sticksstones14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones14.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) → 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) → 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
5	4	ss2abdv 4012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ⊆ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0})
6		fzfid 13880	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
7		nn0ex 12387	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
9		mapex 7871	. . . . . 6 ⊢ (((1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0} ∈ V)
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0} ∈ V)
11		ssexg 5259	. . . . 5 ⊢ (({𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ⊆ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0} ∧ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0} ∈ V) → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ∈ V)
12	5, 10, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ∈ V)
13	2, 12	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14		sticksstones14.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		sticksstones14.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
16		sticksstones14.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
17		sticksstones14.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
18		sticksstones14.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
19	14, 15, 16, 17, 1, 18	sticksstones13 42262	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
20	13, 19	hasheqf1od 14260	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
21	14, 15	nn0addcld 12446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℕ0)
22	21, 15, 18	sticksstones5 42253	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))
23	20, 22	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ifcif 4472  {csn 4573  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407  Ccbc 14209  ♯chash 14237  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  sticksstones15  42264