Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones14 41564
Description: Sticks and stones with definitions as hypotheses. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones14.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones14.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
sticksstones14.3 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))))
sticksstones14.4 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
sticksstones14.5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
sticksstones14.6 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones14 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑖,π‘˜,𝑙   𝐴,𝑏,𝑖,π‘˜,𝑙   𝐴,𝑗,π‘₯,𝑦,π‘Ž,π‘˜,𝑙   𝐡,π‘Ž,𝑓,𝑗,𝑙   𝐡,𝑏,𝑓,𝑗   𝐡,𝑖,π‘˜   𝐹,𝑏,𝑖,π‘˜   𝐾,π‘Ž,𝑓,𝑗,𝑙,π‘₯,𝑦   𝐾,𝑏,π‘₯,𝑦   𝑔,𝐾,𝑖,π‘˜,π‘Ž   𝑁,π‘Ž,𝑓,𝑗,𝑙,π‘₯,𝑦   𝑁,𝑏,𝑔,𝑖,π‘˜   πœ‘,π‘Ž,𝑓,𝑗,𝑙,π‘₯,𝑦   𝑔,𝑏,πœ‘,𝑖,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑔)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑔)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑗,π‘Ž,𝑙)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑙)

Proof of Theorem sticksstones14
StepHypRef Expression
1 sticksstones14.5 . . . . 5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁) β†’ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
43a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁) β†’ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0))
54ss2abdv 4056 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} βŠ† {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0})
6 fzfid 13962 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
7 nn0ex 12500 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
9 mapex 8842 . . . . . 6 (((1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin ∧ β„•0 ∈ V) β†’ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0} ∈ V)
106, 8, 9syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0} ∈ V)
11 ssexg 5317 . . . . 5 (({𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} βŠ† {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0} ∧ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0} ∈ V) β†’ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ∈ V)
125, 10, 11syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ∈ V)
132, 12eqeltrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
14 sticksstones14.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
15 sticksstones14.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
16 sticksstones14.3 . . . 4 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))))
17 sticksstones14.4 . . . 4 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
18 sticksstones14.6 . . . 4 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}
1914, 15, 16, 17, 1, 18sticksstones13 41563 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐡)
2013, 19hasheqf1od 14336 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜π΅))
2114, 15nn0addcld 12558 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 𝐾) ∈ β„•0)
2221, 15, 18sticksstones5 41554 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))
2320, 22eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   βˆ’ cmin 11466  β„•0cn0 12494  ...cfz 13508  Ccbc 14285  β™―chash 14313  Ξ£csu 15656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657
This theorem is referenced by:  sticksstones15  41565
  Copyright terms: Public domain W3C validator