Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfex Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnfex 44014
Description: The class of continuous functions between two topologies is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfex ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
Proof of Theorem cnfex
Dummy variables 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21jctr 525 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽))
3 istopon 22634 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽))
42, 3sylibr 233 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
65jctr 525 . . . 4 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐾 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾))
7 istopon 22634 . . . 4 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾))
86, 7sylibr 233 . . 3 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
9 cnfval 22957 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝐾 ↑m βˆͺ 𝐽) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝑓 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽})
104, 8, 9syl2an 596 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝐾 ↑m βˆͺ 𝐽) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝑓 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽})
11 uniexg 7732 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐾 ∈ V)
12 uniexg 7732 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ V)
13 mapvalg 8832 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐾 ∈ V ∧ βˆͺ 𝐽 ∈ V) β†’ (βˆͺ 𝐾 ↑m βˆͺ 𝐽) = {𝑓 ∣ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾})
1411, 12, 13syl2anr 597 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝐾 ↑m βˆͺ 𝐽) = {𝑓 ∣ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾})
15 mapex 8828 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐽 ∈ V ∧ βˆͺ 𝐾 ∈ V) β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾} ∈ V)
1612, 11, 15syl2an 596 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾} ∈ V)
1714, 16eqeltrd 2833 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝐾 ↑m βˆͺ 𝐽) ∈ V)
18 rabexg 5331 . . 3 ((βˆͺ 𝐾 ↑m βˆͺ 𝐽) ∈ V β†’ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝐾 ↑m βˆͺ 𝐽) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝑓 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
1917, 18syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝐾 ↑m βˆͺ 𝐽) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝑓 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
2010, 19eqeltrd 2833 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆͺ cuni 4908  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-topon 22633  df-cn 22951
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  45068  stoweidlem57  45072
  Copyright terms: Public domain W3C validator