Theorem measbase 34823

Description: The base set of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measbase	⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem measbase

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6917	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ dom measures)
2		vex 3455	. . . . 5 ⊢ 𝑠 ∈ V
3		ovex 7451	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
4		mapex 7950	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V
6		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦))) → 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞))
7	6	ss2abi 4014	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))} ⊆ {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)}
8	5, 7	ssexi 5284	. . 3 ⊢ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))} ∈ V
9		df-meas 34822	. . 3 ⊢ measures = (𝑠 ∈ ∪ ran sigAlgebra ↦ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))})
10	8, 9	dmmpti 6681	. 2 ⊢ dom measures = ∪ ran sigAlgebra
11	1, 10	eleqtrdi 2871	1 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ωcom 7875   ≼ cdom 8964  0cc0 11193  +∞cpnf 11333  [,]cicc 13472  Σ^*cesum 34652  sigAlgebracsiga 34733  measurescmeas 34821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-meas 34822

This theorem is used by:  measfrge0  34829  measvnul  34832  measvun  34835  measxun2  34836  measun  34837  measvuni  34840  measssd  34841  measunl  34842  measiuns  34843  measiun  34844  meascnbl  34845  measinblem  34846  measinb  34847  measinb2  34849  measdivcst  34850  measdivcstALTV  34851  aean  34870  domprobsiga  35036  prob01  35038  probfinmeasb  35053  probfinmeasbALTV  35054  probmeasb  35055