Theorem measbase 34568

Description: The base set of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measbase	⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem measbase

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6917	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ dom measures)
2		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑠 ∈ V
3		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
4		mapex 7938	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V
6		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦))) → 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞))
7	6	ss2abi 4021	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))} ⊆ {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)}
8	5, 7	ssexi 5294	. . 3 ⊢ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))} ∈ V
9		df-meas 34567	. . 3 ⊢ measures = (𝑠 ∈ ∪ ran sigAlgebra ↦ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))})
10	8, 9	dmmpti 6681	. 2 ⊢ dom measures = ∪ ran sigAlgebra
11	1, 10	eleqtrdi 2873	1 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4873  Disj wdisj 5077   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  ran crn 5664  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ωcom 7863   ≼ cdom 8942  0cc0 11101  +∞cpnf 11241  [,]cicc 13376  Σ^*cesum 34398  sigAlgebracsiga 34479  measurescmeas 34566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-meas 34567

This theorem is referenced by:  measfrge0  34574  measvnul  34577  measvun  34580  measxun2  34581  measun  34582  measvuni  34585  measssd  34586  measunl  34587  measiuns  34588  measiun  34589  meascnbl  34590  measinblem  34591  measinb  34592  measinb2  34594  measdivcst  34595  measdivcstALTV  34596  aean  34615  domprobsiga  34782  prob01  34784  probfinmeasb  34799  probfinmeasbALTV  34800  probmeasb  34801