Theorem measbase 34388

Description: The base set of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measbase	⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem measbase

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6868	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ dom measures)
2		vex 3436	. . . . 5 ⊢ 𝑠 ∈ V
3		ovex 7396	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
4		mapex 7888	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 698	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V
6		simp1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦))) → 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞))
7	6	ss2abi 4004	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))} ⊆ {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)}
8	5, 7	ssexi 5257	. . 3 ⊢ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))} ∈ V
9		df-meas 34387	. . 3 ⊢ measures = (𝑠 ∈ ∪ ran sigAlgebra ↦ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))})
10	8, 9	dmmpti 6636	. 2 ⊢ dom measures = ∪ ran sigAlgebra
11	1, 10	eleqtrdi 2850	1 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2718  ∀wral 3054  Vcvv 3432  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  ∪ cuni 4845  Disj wdisj 5046   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ran crn 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ωcom 7813   ≼ cdom 8888  0cc0 11036  +∞cpnf 11174  [,]cicc 13299  Σ^*cesum 34218  sigAlgebracsiga 34299  measurescmeas 34386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-meas 34387

This theorem is referenced by:  measfrge0  34394  measvnul  34397  measvun  34400  measxun2  34401  measun  34402  measvuni  34405  measssd  34406  measunl  34407  measiuns  34408  measiun  34409  meascnbl  34410  measinblem  34411  measinb  34412  measinb2  34414  measdivcst  34415  measdivcstALTV  34416  aean  34435  domprobsiga  34602  prob01  34604  probfinmeasb  34619  probfinmeasbALTV  34620  probmeasb  34621