Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measbase 32836
Description: The base set of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
measbase (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem measbase
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6884 . 2 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ dom measures)
2 vex 3452 . . . . 5 𝑠 ∈ V
3 ovex 7395 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
4 mapex 8778 . . . . 5 ((𝑠 ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ {π‘š ∣ π‘š:π‘ βŸΆ(0[,]+∞)} ∈ V)
52, 3, 4mp2an 691 . . . 4 {π‘š ∣ π‘š:π‘ βŸΆ(0[,]+∞)} ∈ V
6 simp1 1137 . . . . 5 ((π‘š:π‘ βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘šβ€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (π‘šβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘šβ€˜π‘¦))) β†’ π‘š:π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
76ss2abi 4028 . . . 4 {π‘š ∣ (π‘š:π‘ βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘šβ€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (π‘šβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘šβ€˜π‘¦)))} βŠ† {π‘š ∣ π‘š:π‘ βŸΆ(0[,]+∞)}
85, 7ssexi 5284 . . 3 {π‘š ∣ (π‘š:π‘ βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘šβ€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (π‘šβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘šβ€˜π‘¦)))} ∈ V
9 df-meas 32835 . . 3 measures = (𝑠 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ↦ {π‘š ∣ (π‘š:π‘ βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘šβ€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (π‘šβ€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘šβ€˜π‘¦)))})
108, 9dmmpti 6650 . 2 dom measures = βˆͺ ran sigAlgebra
111, 10eleqtrdi 2848 1 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰Ό cdom 8888  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  [,]cicc 13274  Ξ£*cesum 32666  sigAlgebracsiga 32747  measurescmeas 32834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-meas 32835
This theorem is referenced by:  measfrge0  32842  measvnul  32845  measvun  32848  measxun2  32849  measun  32850  measvuni  32853  measssd  32854  measunl  32855  measiuns  32856  measiun  32857  meascnbl  32858  measinblem  32859  measinb  32860  measinb2  32862  measdivcst  32863  measdivcstALTV  32864  aean  32883  domprobsiga  33051  prob01  33053  probfinmeasb  33068  probfinmeasbALTV  33069  probmeasb  33070
  Copyright terms: Public domain W3C validator