Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measbase 34198
Description: The base set of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
measbase (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)

Proof of Theorem measbase
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6943 . 2 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ dom measures)
2 vex 3484 . . . . 5 𝑠 ∈ V
3 ovex 7464 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
4 mapex 7963 . . . . 5 ((𝑠 ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → {𝑚𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V)
52, 3, 4mp2an 692 . . . 4 {𝑚𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V
6 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑚 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑚𝑦))) → 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞))
76ss2abi 4067 . . . 4 {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑚 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑚𝑦)))} ⊆ {𝑚𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)}
85, 7ssexi 5322 . . 3 {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑚 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑚𝑦)))} ∈ V
9 df-meas 34197 . . 3 measures = (𝑠 ran sigAlgebra ↦ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑚 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑚𝑦)))})
108, 9dmmpti 6712 . 2 dom measures = ran sigAlgebra
111, 10eleqtrdi 2851 1 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  Vcvv 3480  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  [,]cicc 13390  Σ*cesum 34028  sigAlgebracsiga 34109  measurescmeas 34196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-meas 34197
This theorem is referenced by:  measfrge0  34204  measvnul  34207  measvun  34210  measxun2  34211  measun  34212  measvuni  34215  measssd  34216  measunl  34217  measiuns  34218  measiun  34219  meascnbl  34220  measinblem  34221  measinb  34222  measinb2  34224  measdivcst  34225  measdivcstALTV  34226  aean  34245  domprobsiga  34413  prob01  34415  probfinmeasb  34430  probfinmeasbALTV  34431  probmeasb  34432
  Copyright terms: Public domain W3C validator