Theorem measbase 34341

Description: The base set of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measbase	⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Proof of Theorem measbase

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6874	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ dom measures)
2		vex 3433	. . . . 5 ⊢ 𝑠 ∈ V
3		ovex 7400	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
4		mapex 7892	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V
6		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦))) → 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞))
7	6	ss2abi 4006	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))} ⊆ {𝑚 ∣ 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)}
8	5, 7	ssexi 5263	. . 3 ⊢ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))} ∈ V
9		df-meas 34340	. . 3 ⊢ measures = (𝑠 ∈ ∪ ran sigAlgebra ↦ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑚‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑚‘𝑦)))})
10	8, 9	dmmpti 6642	. 2 ⊢ dom measures = ∪ ran sigAlgebra
11	1, 10	eleqtrdi 2846	1 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714  ∀wral 3051  Vcvv 3429  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850  Disj wdisj 5052   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ran crn 5632  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817   ≼ cdom 8891  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  [,]cicc 13301  Σ^*cesum 34171  sigAlgebracsiga 34252  measurescmeas 34339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-meas 34340

This theorem is referenced by:  measfrge0  34347  measvnul  34350  measvun  34353  measxun2  34354  measun  34355  measvuni  34358  measssd  34359  measunl  34360  measiuns  34361  measiun  34362  meascnbl  34363  measinblem  34364  measinb  34365  measinb2  34367  measdivcst  34368  measdivcstALTV  34369  aean  34388  domprobsiga  34555  prob01  34557  probfinmeasb  34572  probfinmeasbALTV  34573  probmeasb  34574