Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones20 40982
Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakung, 24-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones20.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones20.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones20.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
sticksstones20.4 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
sticksstones20.5 𝐡 = {β„Ž ∣ (β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁)}
sticksstones20.6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) = 𝐾)
Assertion
Ref Expression
sticksstones20 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = ((𝑁 + (𝐾 βˆ’ 1))C(𝐾 βˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   β„Ž,𝑁,𝑖   𝑆,β„Ž,𝑖   πœ‘,𝑔,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(𝑔,β„Ž)   𝐡(𝑔,β„Ž)   𝑆(𝑔)   𝐾(β„Ž)

Proof of Theorem sticksstones20
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑝 π‘₯ 𝑦 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones20.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Fin)
2 isfinite4 14322 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin ↔ (1...(β™―β€˜π‘†)) β‰ˆ 𝑆)
3 bren 8949 . . . . . . . 8 ((1...(β™―β€˜π‘†)) β‰ˆ 𝑆 ↔ βˆƒπ‘ 𝑝:(1...(β™―β€˜π‘†))–1-1-onto→𝑆)
42, 3sylbb 218 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Fin β†’ βˆƒπ‘ 𝑝:(1...(β™―β€˜π‘†))–1-1-onto→𝑆)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ 𝑝:(1...(β™―β€˜π‘†))–1-1-onto→𝑆)
6 sticksstones20.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) = 𝐾)
76oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜π‘†)) = (1...𝐾))
87f1oeq2d 6830 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑝:(1...(β™―β€˜π‘†))–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
98biimpd 228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑝:(1...(β™―β€˜π‘†))–1-1-onto→𝑆 β†’ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
109eximdv 1921 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ 𝑝:(1...(β™―β€˜π‘†))–1-1-onto→𝑆 β†’ βˆƒπ‘ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
115, 10mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
12 sticksstones20.4 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
14 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1...𝐾) ∈ Fin)
15 nn0ex 12478 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
17 mapex 8826 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ β„•0 ∈ V) β†’ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0} ∈ V)
1814, 16, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0} ∈ V)
19 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0)
2019ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁) β†’ 𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0))
2120ss2abdv 4061 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} βŠ† {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0})
2218, 21ssexd 5325 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ∈ V)
2313, 22eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
2423adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) β†’ 𝐴 ∈ V)
2524mptexd 7226 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))) ∈ V)
26 sticksstones20.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2726adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
28 sticksstones20.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
2928nnnn0d 12532 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
31 sticksstones20.5 . . . . . . . 8 𝐡 = {β„Ž ∣ (β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁)}
32 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) β†’ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
33 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))) = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))))
34 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘¦)))) = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘¦))))
3527, 30, 12, 31, 32, 33, 34sticksstones19 40981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))):𝐴–1-1-onto→𝐡)
36 f1oeq1 6822 . . . . . . 7 (π‘ž = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘ž:𝐴–1-1-onto→𝐡 ↔ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))):𝐴–1-1-onto→𝐡))
3725, 35, 36spcedv 3589 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) β†’ βˆƒπ‘ž π‘ž:𝐴–1-1-onto→𝐡)
38 bren 8949 . . . . . 6 (𝐴 β‰ˆ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘ž π‘ž:𝐴–1-1-onto→𝐡)
3937, 38sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝐡)
4011, 39exlimddv 1939 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝐡)
41 hasheni 14308 . . . 4 (𝐴 β‰ˆ 𝐡 β†’ (β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜π΅))
4240, 41syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜π΅))
4342eqcomd 2739 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = (β™―β€˜π΄))
4426, 28, 12sticksstones16 40978 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + (𝐾 βˆ’ 1))C(𝐾 βˆ’ 1)))
4543, 44eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = ((𝑁 + (𝐾 βˆ’ 1))C(𝐾 βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β‰ˆ cen 8936  Fincfn 8939  1c1 11111   + caddc 11113   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  Ccbc 14262  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  sticksstones21  40983
  Copyright terms: Public domain W3C validator