Theorem sticksstones20 42154

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakung, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones20.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones20.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones20.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones20.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.5	⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.6	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sticksstones20	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   ℎ,𝑁,𝑖   𝑆,ℎ,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝑆(𝑔)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem sticksstones20

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones20.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
2		isfinite4 14327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆)
3		bren 8928	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
4	2, 3	sylbb 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
6		sticksstones20.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)
7	6	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑆)) = (1...𝐾))
8	7	f1oeq2d 6796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
9	8	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
10	9	eximdv 1917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
11	5, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
12		sticksstones20.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
14		fzfid 13938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐾) ∈ Fin)
15		nn0ex 12448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
17		mapex 7917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
19		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0)
20	19	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0))
21	20	ss2abdv 4029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ⊆ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0})
22	18, 21	ssexd 5279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ∈ V)
23	13, 22	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ∈ V)
25	24	mptexd 7198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) ∈ V)
26		sticksstones20.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		sticksstones20.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐾 ∈ ℕ0)
31		sticksstones20.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
32		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
33		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥))))
34		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦)))) = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦))))
35	27, 30, 12, 31, 32, 33, 34	sticksstones19 42153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵)
36		f1oeq1 6788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) → (𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵))
37	25, 35, 36	spcedv 3564	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
38		bren 8928	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
39	37, 38	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ≈ 𝐵)
40	11, 39	exlimddv 1935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
41		hasheni 14313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
43	42	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐴))
44	26, 28, 12	sticksstones16 42150	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
45	43, 44	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ≈ cen 8915  Fincfn 8918  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  Ccbc 14267  ♯chash 14295  Σcsu 15652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653

This theorem is referenced by:  sticksstones21  42155