Theorem sticksstones20 42858

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones20.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones20.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones20.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones20.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.5	⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.6	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sticksstones20	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   ℎ,𝑁,𝑖   𝑆,ℎ,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝑆(𝑔)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem sticksstones20

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones20.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
2		isfinite4 14398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆)
3		bren 8953	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
4	2, 3	sylbb 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
5	1, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
6		sticksstones20.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)
7	6	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑆)) = (1...𝐾))
8	7	f1oeq2d 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
9	8	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
10	9	eximdv 1944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
11	5, 10	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
12		sticksstones20.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
14		fzfid 14009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐾) ∈ Fin)
15		nn0ex 12510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
17		mapex 7937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
18	14, 16, 17	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
19		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0)
20	19	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0))
21	20	ss2abdv 4025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ⊆ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0})
22	18, 21	ssexd 5295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ∈ V)
23	13, 22	eqeltrd 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
24	23	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ∈ V)
25	24	mptexd 7223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) ∈ V)
26		sticksstones20.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		sticksstones20.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	29	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐾 ∈ ℕ0)
31		sticksstones20.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
32		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
33		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥))))
34		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦)))) = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦))))
35	27, 30, 12, 31, 32, 33, 34	sticksstones19 42857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵)
36		f1oeq1 6809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) → (𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵))
37	25, 35, 36	spcedv 3564	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
38		bren 8953	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
39	37, 38	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ≈ 𝐵)
40	11, 39	exlimddv 1962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
41		hasheni 14384	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
42	40, 41	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
43	42	eqcomd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐴))
44	26, 28, 12	sticksstones16 42854	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
45	43, 44	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  {cab 2747  Vcvv 3461   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5661  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ≈ cen 8940  Fincfn 8943  1c1 11101   + caddc 11103   − cmin 11441  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  Ccbc 14338  ♯chash 14366  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738

This theorem is referenced by:  sticksstones21  42859