Theorem sticksstones20 40122

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakung, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones20.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones20.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones20.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones20.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.5	⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.6	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sticksstones20	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   ℎ,𝑁,𝑖   𝑆,ℎ,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝑆(𝑔)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem sticksstones20

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones20.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
2		isfinite4 14077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆)
3		bren 8743	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
4	2, 3	sylbb 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
6		sticksstones20.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)
7	6	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑆)) = (1...𝐾))
8	7	f1oeq2d 6712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
9	8	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
10	9	eximdv 1920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
11	5, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
12		sticksstones20.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
14		fzfid 13693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐾) ∈ Fin)
15		nn0ex 12239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
17		mapex 8621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
19		simprl 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0)
20	19	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0))
21	20	ss2abdv 3997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ⊆ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0})
22	18, 21	ssexd 5248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ∈ V)
23	13, 22	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ∈ V)
25	24	mptexd 7100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) ∈ V)
26		sticksstones20.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		sticksstones20.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐾 ∈ ℕ0)
31		sticksstones20.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
32		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
33		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥))))
34		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦)))) = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦))))
35	27, 30, 12, 31, 32, 33, 34	sticksstones19 40121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵)
36		f1oeq1 6704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) → (𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵))
37	25, 35, 36	spcedv 3537	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
38		bren 8743	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
39	37, 38	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ≈ 𝐵)
40	11, 39	exlimddv 1938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
41		hasheni 14062	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
43	42	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐴))
44	26, 28, 12	sticksstones16 40118	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
45	43, 44	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ≈ cen 8730  Fincfn 8733  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  Ccbc 14016  ♯chash 14044  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  sticksstones21  40123