Theorem sticksstones20 42101

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakung, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones20.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones20.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones20.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones20.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.5	⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.6	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sticksstones20	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   ℎ,𝑁,𝑖   𝑆,ℎ,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝑆(𝑔)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem sticksstones20

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones20.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
2		isfinite4 14382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆)
3		bren 8976	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
4	2, 3	sylbb 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
6		sticksstones20.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)
7	6	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑆)) = (1...𝐾))
8	7	f1oeq2d 6823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
9	8	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
10	9	eximdv 1916	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
11	5, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
12		sticksstones20.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
14		fzfid 13995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐾) ∈ Fin)
15		nn0ex 12514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
17		mapex 7944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
19		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0)
20	19	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0))
21	20	ss2abdv 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ⊆ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0})
22	18, 21	ssexd 5304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ∈ V)
23	13, 22	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ∈ V)
25	24	mptexd 7225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) ∈ V)
26		sticksstones20.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		sticksstones20.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐾 ∈ ℕ0)
31		sticksstones20.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
32		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
33		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥))))
34		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦)))) = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦))))
35	27, 30, 12, 31, 32, 33, 34	sticksstones19 42100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵)
36		f1oeq1 6815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) → (𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵))
37	25, 35, 36	spcedv 3581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
38		bren 8976	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
39	37, 38	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ≈ 𝐵)
40	11, 39	exlimddv 1934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
41		hasheni 14368	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
43	42	eqcomd 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐴))
44	26, 28, 12	sticksstones16 42097	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
45	43, 44	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  {cab 2712  Vcvv 3463   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  ^◡ccnv 5664  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412   ≈ cen 8963  Fincfn 8966  1c1 11137   + caddc 11139   − cmin 11473  ℕcn 12247  ℕ₀cn0 12508  ...cfz 13528  Ccbc 14322  ♯chash 14350  Σcsu 15703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-rp 13016  df-ico 13374  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-seq 14024  df-exp 14084  df-fac 14294  df-bc 14323  df-hash 14351  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-clim 15505  df-sum 15704

This theorem is referenced by:  sticksstones21  42102