Theorem sticksstones20 42146

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakung, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones20.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones20.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones20.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones20.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.5	⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones20.6	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sticksstones20	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   ℎ,𝑁,𝑖   𝑆,ℎ,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝑆(𝑔)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem sticksstones20

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones20.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
2		isfinite4 14337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆)
3		bren 8932	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝑆)) ≈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
4	2, 3	sylbb 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆)
6		sticksstones20.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝐾)
7	6	oveq2d 7410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑆)) = (1...𝐾))
8	7	f1oeq2d 6803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
9	8	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
10	9	eximdv 1917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 𝑝:(1...(♯‘𝑆))–1-1-onto→𝑆 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆))
11	5, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
12		sticksstones20.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
14		fzfid 13948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐾) ∈ Fin)
15		nn0ex 12464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
17		mapex 7926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0} ∈ V)
19		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0)
20	19	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁) → 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0))
21	20	ss2abdv 4037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ⊆ {𝑔 ∣ 𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0})
22	18, 21	ssexd 5287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ∈ V)
23	13, 22	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ∈ V)
25	24	mptexd 7205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) ∈ V)
26		sticksstones20.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		sticksstones20.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐾 ∈ ℕ0)
31		sticksstones20.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ (ℎ:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (ℎ‘𝑖) = 𝑁)}
32		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
33		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥))))
34		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦)))) = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑝‘𝑦))))
35	27, 30, 12, 31, 32, 33, 34	sticksstones19 42145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵)
36		f1oeq1 6795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))) → (𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑎‘(◡𝑝‘𝑥)))):𝐴–1-1-onto→𝐵))
37	25, 35, 36	spcedv 3573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
38		bren 8932	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑞 𝑞:𝐴–1-1-onto→𝐵)
39	37, 38	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) → 𝐴 ≈ 𝐵)
40	11, 39	exlimddv 1935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
41		hasheni 14323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
43	42	eqcomd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐴))
44	26, 28, 12	sticksstones16 42142	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
45	43, 44	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2708  Vcvv 3455   class class class wbr 5115   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5645  ⟶wf 6515  –1-1-onto→wf1o 6518  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   ≈ cen 8919  Fincfn 8922  1c1 11087   + caddc 11089   − cmin 11423  ℕcn 12197  ℕ₀cn0 12458  ...cfz 13481  Ccbc 14277  ♯chash 14305  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-oadd 8447  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9411  df-inf 9412  df-oi 9481  df-dju 9872  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12966  df-ico 13325  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-seq 13977  df-exp 14037  df-fac 14249  df-bc 14278  df-hash 14306  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  sticksstones21  42147