Theorem metf 24655

Description: Mapping of the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metf	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem metf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metflem 24653	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
2	1	simpld 500	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204   + caddc 11207   ≤ cle 11348  Metcmet 21670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-map 8853  df-met 21678

This theorem is used by:  metcl  24657  metn0  24685  metres2  24688  metres  24690  msf  24783  isngp3  24923  tngngp2  24977  tngngpim  24984  xrsdsre  25136  metdcn2  25165  cncms  25682  cnrrext  34689  isbnd3  38812  isbnd3b  38813  ssbnd  38816  bnd2lem  38819  prdsbnd  38821