Theorem metf 24313

Description: Mapping of the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metf	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem metf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metflem 24311	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
2	1	simpld 495	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   class class class wbr 5072   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   ≤ cle 11171  Metcmet 21333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8765  df-met 21341

This theorem is referenced by:  metcl  24315  metn0  24343  metres2  24346  metres  24348  msf  24441  isngp3  24581  tngngp2  24635  tngngpim  24642  xrsdsre  24794  metdcn2  24823  cncms  25340  cnrrext  34194  isbnd3  38151  isbnd3b  38152  ssbnd  38155  bnd2lem  38158  prdsbnd  38160