MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetres2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xmetres2 24222
Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜π‘…))
Proof of Theorem xmetres2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6922 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
21adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 simpr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
42, 3ssexd 5317 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ V)
5 xmetf 24190 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
65adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
7 xpss12 5684 . . . 4 ((𝑅 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
83, 7sylancom 587 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
96, 8fssresd 6752 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„*)
10 ovres 7570 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1110adantl 481 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1211eqeq1d 2728 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = 0 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = 0))
13 simpll 764 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
14 simplr 766 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
15 simprl 768 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
1614, 15sseldd 3978 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
17 simprr 770 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
1814, 17sseldd 3978 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
19 xmeteq0 24199 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
2013, 16, 18, 19syl3anc 1368 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
2112, 20bitrd 279 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
22 simpll 764 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
23 simplr 766 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
24 simpr3 1193 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑅)
2523, 24sseldd 3978 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
26163adantr3 1168 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
27183adantr3 1168 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
28 xmettri2 24201 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
2922, 25, 26, 27, 28syl13anc 1369 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
30113adantr3 1168 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
31 simpr1 1191 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
3224, 31ovresd 7571 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘₯) = (𝑧𝐷π‘₯))
33 simpr2 1192 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
3424, 33ovresd 7571 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
3532, 34oveq12d 7423 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘₯) +𝑒 (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3629, 30, 353brtr4d 5173 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) ≀ ((𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))π‘₯) +𝑒 (𝑧(𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦)))
374, 9, 21, 36isxmetd 24187 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13096  βˆžMetcxmet 21225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-xr 11256  df-xmet 21233
This theorem is referenced by:  metres2  24224  xmetres  24225  xpsxmet  24241  xpsdsval  24242  xmetresbl  24298  tmsxms  24350  imasf1oxms  24353  metrest  24388  prdsxms  24394  tmsxpsval  24402  nrginvrcn  24564  divcnOLD  24739  divcn  24741  iitopon  24754  cncfmet  24784  cfilres  25179  dvlip2  25883  ftc1lem6  25931  ulmdvlem1  26291  ulmdvlem3  26293  abelth  26333  cxpcn3  26638  rlimcnp  26852  minvecolem4b  30640  minvecolem4  30642  ftc1cnnc  37073  blbnd  37168  ismtyres  37189  reheibor  37220
  Copyright terms: Public domain W3C validator