Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetres2 23076
 Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))

Proof of Theorem xmetres2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6695 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
21adantr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 simpr 488 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅𝑋)
42, 3ssexd 5198 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅 ∈ V)
5 xmetf 23044 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
65adantr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
7 xpss12 5543 . . . 4 ((𝑅𝑋𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
83, 7sylancom 591 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
96, 8fssresd 6535 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ*)
10 ovres 7316 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1110adantl 485 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1211eqeq1d 2760 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
13 simpll 766 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simplr 768 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑅𝑋)
15 simprl 770 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑅)
1614, 15sseldd 3895 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑋)
17 simprr 772 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑅)
1814, 17sseldd 3895 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑋)
19 xmeteq0 23053 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2013, 16, 18, 19syl3anc 1368 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2112, 20bitrd 282 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
22 simpll 766 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
23 simplr 768 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑅𝑋)
24 simpr3 1193 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑅)
2523, 24sseldd 3895 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑋)
26163adantr3 1168 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑋)
27183adantr3 1168 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑋)
28 xmettri2 23055 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
2922, 25, 26, 27, 28syl13anc 1369 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
30113adantr3 1168 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
31 simpr1 1191 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑅)
3224, 31ovresd 7317 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) = (𝑧𝐷𝑥))
33 simpr2 1192 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑅)
3424, 33ovresd 7317 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
3532, 34oveq12d 7174 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3629, 30, 353brtr4d 5068 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) ≤ ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)))
374, 9, 21, 36isxmetd 23041 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5036   × cxp 5526  dom cdm 5528   ↾ cres 5530  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0cc0 10588  ℝ*cxr 10725   ≤ cle 10727   +𝑒 cxad 12559  ∞Metcxmet 20164 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-fv 6348  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8424  df-xr 10730  df-xmet 20172 This theorem is referenced by:  metres2  23078  xmetres  23079  xpsxmet  23095  xpsdsval  23096  xmetresbl  23152  tmsxms  23201  imasf1oxms  23204  metrest  23239  prdsxms  23245  tmsxpsval  23253  nrginvrcn  23407  divcn  23582  iitopon  23593  cncfmet  23623  cfilres  24009  dvlip2  24707  ftc1lem6  24753  ulmdvlem1  25107  ulmdvlem3  25109  abelth  25148  cxpcn3  25449  rlimcnp  25663  minvecolem4b  28773  minvecolem4  28775  ftc1cnnc  35443  blbnd  35539  ismtyres  35560  reheibor  35591
 Copyright terms: Public domain W3C validator