MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metgt0 22961
Description: The distance function of a metric space is positive for unequal points. Definition 14-1.1(b) of [Gleason] p. 223 and its converse. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metgt0 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐵 ↔ 0 < (𝐴𝐷𝐵)))

Proof of Theorem metgt0
StepHypRef Expression
1 metxmet 22936 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetgt0 22960 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐵 ↔ 0 < (𝐴𝐷𝐵)))
31, 2syl3an1 1158 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐵 ↔ 0 < (𝐴𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  w3a 1082  wcel 2108  wne 3014   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529   < clt 10667  ∞Metcxmet 20522  Metcmet 20523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-xmet 20530  df-met 20531
This theorem is referenced by:  methaus  23122
  Copyright terms: Public domain W3C validator