Theorem mptelpm 45170

Description: A function in maps-to notation is a partial map . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptelpm.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
mptelpm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐷)
mptelpm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
mptelpm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mptelpm	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptelpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptelpm.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3, 1	dmmptd 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
6	5	feq2d 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶))
7	2, 6	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶)
8		mptelpm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐷)
9	4, 8	eqsstrd 3981	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷)
10	7, 9	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶 ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷))
11		mptelpm.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
12		mptelpm.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
13		elpm2g 8817	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶 ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷)))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶 ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷)))
15	10, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387   ↑_pm cpm 8800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-pm 8802

This theorem is referenced by:  dvnmptconst  45939  dvnmul  45941