Theorem mptelpm 46016

Description: A function in maps-to notation is a partial map . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptelpm.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
mptelpm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐷)
mptelpm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
mptelpm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mptelpm	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptelpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptelpm.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3, 1	dmmptd 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
6	5	feq2d 6690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶))
7	2, 6	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶)
8		mptelpm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐷)
9	4, 8	eqsstrd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷)
10	7, 9	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶 ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷))
11		mptelpm.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
12		mptelpm.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
13		elpm2g 8847	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶 ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷)))
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶 ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷)))
15	10, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  (class class class)co 7417   ↑_pm cpm 8831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-pm 8833

This theorem is used by:  dvnmptconst  46777  dvnmul  46779