Theorem mptelpm 44429

Description: A function in maps-to notation is a partial map . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptelpm.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
mptelpm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐷)
mptelpm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
mptelpm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mptelpm	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptelpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptelpm.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3, 1	dmmptd 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
6	5	feq2d 6696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶))
7	2, 6	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶)
8		mptelpm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐷)
9	4, 8	eqsstrd 4015	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷)
10	7, 9	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶 ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷))
11		mptelpm.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
12		mptelpm.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
13		elpm2g 8837	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶 ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷)))
14	11, 12, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶𝐶 ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐷)))
15	10, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ⟶wf 6532  (class class class)co 7404   ↑_pm cpm 8820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-pm 8822

This theorem is referenced by:  dvnmptconst  45211  dvnmul  45213