Theorem dvnmul 40953

Description: Function-builder for the 𝑁-th derivative, product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnmul.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvnmul.cc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvnmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvnmulf	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
dvnmul.f	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
dvnmul.dvnf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
dvnmul.dvng	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
dvnmul.c	⊢ 𝐶 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
dvnmul.d	⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
dvnmul	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvnmul

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 ℎ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		dvnmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0uz 12004	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	syl6eleq 2916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
5		eluzfz2 12642	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
7		eleq1 2894	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁)))
8		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁))
9		oveq2 6913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
10	9	sumeq1d 14808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))
11		oveq1 6912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛C𝑘) = (𝑁C𝑘))
12		fvoveq1 6928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐷‘(𝑛 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑁 − 𝑘)))
13	12	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))
14	13	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))
15	11, 14	oveq12d 6923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))
16	15	sumeq2ad 14811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))
17	10, 16	eqtrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))
18	17	mpteq2dv 4968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))))
19	8, 18	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))))
20	19	imbi2d 332	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))))))
21	7, 20	imbi12d 336	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 ∈ (0...𝑁) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))))) ↔ (𝑁 ∈ (0...𝑁) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))))))
22		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0))
23		simpl 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑚 = 0)
24	23	oveq2d 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑚) = (0...0))
25		simpll 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝑚 = 0)
26	25	oveq1d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑚C𝑘) = (0C𝑘))
27	25	fvoveq1d 6927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐷‘(𝑚 − 𝑘)) = (𝐷‘(0 − 𝑘)))
28	27	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))
29	28	oveq2d 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))
30	26, 29	oveq12d 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))
31	24, 30	sumeq12rdv 14815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))
32	31	mpteq2dva 4967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))))
33	22, 32	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))))
34	33	imbi2d 332	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))))))
35		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖))
36		simpl 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑚 = 𝑖)
37	36	oveq2d 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑚) = (0...𝑖))
38		simpll 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑚 = 𝑖)
39	38	oveq1d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑚C𝑘) = (𝑖C𝑘))
40	38	fvoveq1d 6927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑚 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)))
41	40	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))
42	41	oveq2d 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))
43	39, 42	oveq12d 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))
44	37, 43	sumeq12rdv 14815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))
45	44	mpteq2dva 4967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))
46	35, 45	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))))
47	46	imbi2d 332	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))))
48		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)))
49		simpl 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑚 = (𝑖 + 1))
50	49	oveq2d 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑚) = (0...(𝑖 + 1)))
51		simpll 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑚 = (𝑖 + 1))
52	51	oveq1d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑚C𝑘) = ((𝑖 + 1)C𝑘))
53	51	fvoveq1d 6927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝐷‘(𝑚 − 𝑘)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
54	53	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))
55	54	oveq2d 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
56	52, 55	oveq12d 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
57	50, 56	sumeq12rdv 14815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
58	57	mpteq2dva 4967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
59	48, 58	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
60	59	imbi2d 332	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))))
61		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛))
62		simpl 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑚 = 𝑛)
63	62	oveq2d 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑚) = (0...𝑛))
64		simpll 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑚 = 𝑛)
65	64	oveq1d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑚C𝑘) = (𝑛C𝑘))
66	64	fvoveq1d 6927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐷‘(𝑚 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑛 − 𝑘)))
67	66	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))
68	67	oveq2d 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))
69	65, 68	oveq12d 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))
70	63, 69	sumeq12rdv 14815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))
71	70	mpteq2dva 4967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))))
72	61, 71	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))))
73	72	imbi2d 332	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))))))
74		dvnmul.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
75		recnprss 24067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
77		dvnmul.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
78		dvnmul.cc	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
79	77, 78	mulcld 10377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
80		restsspw 16445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
81		dvnmul.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
82	80, 81	sseldi 3825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
83		elpwi 4388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
85		cnex 10333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
87	79, 84, 86, 74	mptelpm 40166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
88		dvn0 24086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))
89	76, 87, 88	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))
90		0z 11715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
91		fzsn 12676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
92	90, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...0) = {0}
93	92	sumeq1i 14805	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))
94	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))
95		nfcvd 2970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘(𝐴 · 𝐵))
96		nfv 2015	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
97		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
98		0nn0 11635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℕ0
99		bcn0 13390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0C0) = 1
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C0) = 1)
102	97, 101	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
103	102	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (0C𝑘) = 1)
104		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘0))
105	104	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘0))
106		dvnmul.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐶 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
107		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
108	107	cbvmptv 4973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
109	106, 108	eqtri 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
110		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
111		eluzfz1 12641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
112	4, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
113		fvexd 6448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) ∈ V)
114	109, 110, 112, 113	fvmptd3 6550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
115	114	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
116	105, 115	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
117		dvnmulf	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
118	77, 84, 86, 74	mptelpm 40166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
119	117, 118	syl5eqel 2910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
120		dvn0 24086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
121	76, 119, 120	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
122	121	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
123	116, 122	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶‘𝑘) = 𝐹)
124	123	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
125	124	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
126		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
127	117	fvmpt2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
128	126, 77, 127	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
129	128	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
130	125, 129	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
131		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
132		0m0e0 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 − 0) = 0
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 0) = 0)
134	131, 133	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
135	134	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐷‘(0 − 𝑘)) = (𝐷‘0))
136	135	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘0)‘𝑥))
137	136	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘0)‘𝑥))
138	137	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘0)‘𝑥))
139		dvnmul.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘))
140		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))
141	140	cbvmptv 4973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘)) = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))
142	139, 141	eqtri 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))
143	142	fveq1i 6434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐷‘0) = ((𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))‘0)
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = ((𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))‘0))
145		eqidd 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛)))
146		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0))
147	146	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 0) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0))
148		dvnmul.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
149	78, 84, 86, 74	mptelpm 40166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
150	148, 149	syl5eqel 2910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
151		dvn0 24086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0) = 𝐺)
152	76, 150, 151	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0) = 𝐺)
153	152	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 0) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0) = 𝐺)
154	147, 153	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 0) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = 𝐺)
155	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
156		mptexg 6740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ V)
157	82, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ V)
158	155, 157	eqeltrd 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
159	145, 154, 112, 158	fvmptd 6535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))‘0) = 𝐺)
160	144, 159	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = 𝐺)
161	160	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
162	161	ad2antrr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐷‘0)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
163	155, 78	fvmpt2d 6540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) = 𝐵)
164	163	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐺‘𝑥) = 𝐵)
165	138, 162, 164	3eqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥) = 𝐵)
166	130, 165	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐵))
167	103, 166	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = (1 · (𝐴 · 𝐵)))
168	79	mulid2d 10375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵))
169	168	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (1 · (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵))
170	167, 169	eqtrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = (𝐴 · 𝐵))
171		0re 10358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
173	95, 96, 170, 172, 79	sumsnd 40003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = (𝐴 · 𝐵))
174	94, 173	eqtr2d 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))
175	174	mpteq2dva 4967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))))
176	89, 175	eqtrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))))
177	176	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))))
178		simp3 1174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
179		simp1 1172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) ∧ 𝜑) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
180		simp2 1173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))))
181		pm3.35 839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))
182	178, 180, 181	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))
183	76	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
184	87	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
185		elfzonn0 12808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
186	185	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
187		dvnp1 24087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖)))
188	183, 184, 186, 187	syl3anc 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖)))
189	188	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖)))
190		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))
191	190	oveq2d 6921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))))
192		eqid 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
193		eqid 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
194	74	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
195	81	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
196		fzfid 13067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (0...𝑖) ∈ Fin)
197	185	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
198		elfzelz 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℤ)
199	198	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℤ)
200	197, 199	bccld 40328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℕ0)
201	200	nn0cnd 11680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
202	201	adantll 707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
203	202	3adant3 1168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
204		simpll 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝜑)
205		0zd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ∈ ℤ)
206		elfzoel2 12764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
207	206	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑁 ∈ ℤ)
208	205, 207, 199	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
209		elfzle1 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 ≤ 𝑘)
210	209	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ≤ 𝑘)
211	199	zred 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℝ)
212	206	zred 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
213	212	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑁 ∈ ℝ)
214	185	nn0red 11679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
215	214	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℝ)
216		elfzle2 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ≤ 𝑖)
217	216	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ≤ 𝑖)
218		elfzolt2 12774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
219	218	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 < 𝑁)
220	211, 215, 213, 217, 219	lelttrd 10514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 < 𝑁)
221	211, 213, 220	ltled 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ≤ 𝑁)
222	208, 210, 221	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
223		elfz2 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
224	222, 223	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
225	224	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
226		dvnmul.dvnf	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
227	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
228		fvexd 6448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
229	227, 228	fvmpt2d 6540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
230	229	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):𝑋⟶ℂ))
231	226, 230	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
232	204, 225, 231	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
233	232	3adant3 1168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
234		simp3 1174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
235	233, 234	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
236	185	nn0zd 11808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
237	236	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℤ)
238	237, 199	zsubcld 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ ℤ)
239	205, 207, 238	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ ℤ))
240		elfzel2 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
241	240	zred 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
242	198	zred 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
243	241, 242	subge0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (0 ≤ (𝑖 − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ 𝑖))
244	216, 243	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 ≤ (𝑖 − 𝑘))
245	244	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ≤ (𝑖 − 𝑘))
246	215, 211	resubcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ ℝ)
247	213, 211	resubcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
248	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ∈ ℝ)
249	213, 248	jca 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
250		resubcl 10666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 − 0) ∈ ℝ)
251	249, 250	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 0) ∈ ℝ)
252	215, 213, 211, 219	ltsub1dd 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) < (𝑁 − 𝑘))
253	248, 211, 213, 210	lesub2dd 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 𝑘) ≤ (𝑁 − 0))
254	246, 247, 251, 252, 253	ltletrd 10516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) < (𝑁 − 0))
255	212	recnd 10385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
256	255	subid1d 10702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
257	256	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
258	254, 257	breqtrd 4899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) < 𝑁)
259	246, 213, 258	ltled 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ≤ 𝑁)
260	239, 245, 259	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑖 − 𝑘) ∧ (𝑖 − 𝑘) ≤ 𝑁)))
261		elfz2 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑖 − 𝑘) ∧ (𝑖 − 𝑘) ≤ 𝑁)))
262	260, 261	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
263	262	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
264		ovex 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 − 𝑘) ∈ V
265		eleq1 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁)))
266	265	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))))
267		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
268	267	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → (((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
269	266, 268	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)))
270		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
271		eleq1 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
272	271	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))))
273		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗))
274	273	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ))
275	272, 274	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ)))
276		dvnmul.dvng	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
277	270, 275, 276	chvar 2416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
278	264, 269, 277	vtocl 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
279	204, 263, 278	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
280		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑖 − 𝑘) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
281		fvexd 6448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)) ∈ V)
282	142, 280, 262, 281	fvmptd3 6550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
283	282	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
284	283	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
285	279, 284	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
286	285	3adant3 1168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
287	286, 234	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
288	235, 287	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
289	203, 288	mulcld 10377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
290	203	3expa 1153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
291	237	peano2zd 11813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
292	291, 199	zsubcld 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
293	205, 207, 292	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ))
294		peano2re 10528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
295	241, 294	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
296		peano2re 10528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
297	242, 296	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
298	242	ltp1d 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
299		1red 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 1 ∈ ℝ)
300	242, 241, 299, 216	leadd1dd 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑖 + 1))
301	242, 297, 295, 298, 300	ltletrd 10516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 < (𝑖 + 1))
302	242, 295, 301	ltled 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ≤ (𝑖 + 1))
303	302	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ≤ (𝑖 + 1))
304	215, 294	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
305	304, 211	subge0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑖 + 1)))
306	303, 305	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘))
307	304, 211	resubcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
308		elfzop1le2 40301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
309	308	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
310	304, 213, 211, 309	lesub1dd 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘))
311	253, 257	breqtrd 4899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 𝑘) ≤ 𝑁)
312	307, 247, 213, 310, 311	letrd 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)
313	293, 306, 312	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)))
314		elfz2 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)))
315	313, 314	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
316	315	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
317		ovex 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ V
318		eleq1 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁)))
319	318	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))))
320		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
321	320	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
322	319, 321	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)))
323	317, 322, 277	vtocl 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
324	204, 316, 323	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
325	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝐷 = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛)))
326		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑛 = ((𝑖 + 1) − 𝑘)) → 𝑛 = ((𝑖 + 1) − 𝑘))
327	326	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑛 = ((𝑖 + 1) − 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
328		fvexd 6448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) ∈ V)
329	325, 327, 316, 328	fvmptd 6535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
330	329	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
331	324, 330	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
332	331	ffvelrnda 6608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
333	235	3expa 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
334	332, 333	mulcomd 10378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
335	334	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) = ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
336	199	peano2zd 11813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
337	205, 207, 336	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
338	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 ∈ ℝ)
339	338, 242, 297, 209, 298	lelttrd 10514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 < (𝑘 + 1))
340	338, 297, 339	ltled 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
341	340	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
342	211, 296	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
343	300	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑖 + 1))
344	342, 304, 213, 343, 309	letrd 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
345	337, 341, 344	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
346		elfz2 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
347	345, 346	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
348	347	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
349		ovex 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
350		eleq1 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁)))
351	350	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))))
352		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
353	352	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐶‘(𝑘 + 1)):𝑋⟶ℂ))
354	351, 353	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)):𝑋⟶ℂ)))
355		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))
356		nfmpt1 4970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
357	106, 356	nfcxfr 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
358		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
359	357, 358	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘𝑗)
360		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
361		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
362	359, 360, 361	nff 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ
363	355, 362	nfim 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
364		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑗))
365	364	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ))
366	272, 365	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)))
367	363, 366, 231	chvar 2416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
368	349, 354, 367	vtocl 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)):𝑋⟶ℂ)
369	204, 348, 368	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)):𝑋⟶ℂ)
370	369	ffvelrnda 6608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
371	287	3expa 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
372	370, 371	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
373	332, 333	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
374	372, 373	addcld 10376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
375	335, 374	eqeltrrd 2907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
376	290, 375	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) ∈ ℂ)
377	376	3impa 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) ∈ ℂ)
378	204, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
379	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
380	204, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
381	378, 380, 202	dvmptconst 40924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑖C𝑘))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
382	288	3expa 1153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
383	204, 225, 229	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
384	383	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = (𝐶‘𝑘))
385	232	feqmptd 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)))
386	384, 385	eqtr2d 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
387	386	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
388	378, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
389	204, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
390		elfznn0 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ0)
391	390	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
392		dvnp1 24087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
393	388, 389, 391, 392	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
394	393	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
395		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
396		fvexd 6448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ V)
397	109, 395, 348, 396	fvmptd3 6550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
398	397	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
399	369	feqmptd 6496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥)))
400	398, 399	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥)))
401	387, 394, 400	3eqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥)))
402	283	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)))
403	285	feqmptd 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))
404	402, 403	eqtr2d 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
405	404	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘))))
406	204, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
407		fznn0sub 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑖 − 𝑘) ∈ ℕ0)
408	407	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ ℕ0)
409		dvnp1 24087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘))))
410	388, 406, 408, 409	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘))))
411	410	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘))) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)))
412	215	recnd 10385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℂ)
413		1cnd 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 1 ∈ ℂ)
414	211	recnd 10385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℂ)
415	412, 413, 414	addsubd 10734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) = ((𝑖 − 𝑘) + 1))
416	415	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 − 𝑘) + 1) = ((𝑖 + 1) − 𝑘))
417	416	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
418	417	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
419	329	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
420	331	feqmptd 6496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
421	418, 419, 420	3eqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
422	405, 411, 421	3eqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
423	378, 333, 370, 401, 371, 332, 422	dvmptmul 24123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)))))
424	378, 290, 379, 381, 382, 374, 423	dvmptmul 24123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)))))
425	382	mul02d 10553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = 0)
426	335	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)) = (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)))
427	375, 290	mulcomd 10378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)) = ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
428	426, 427	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)) = ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
429	425, 428	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘))) = (0 + ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
430	376	addid2d 10556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
431	429, 430	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘))) = ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
432	431	mpteq2dva 4967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
433	424, 432	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
434	192, 193, 194, 195, 196, 289, 377, 433	dvmptfsum 24137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
435	202	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
436	372	an32s 644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
437		anass 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
438		ancom 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)))
439	438	anbi2i 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖))))
440		anass 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖))))
441	440	bicomi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)))
442	439, 441	bitri 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)))
443	437, 442	bitri 267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)))
444	443	imbi1i 341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ))
445	333, 444	mpbi 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
446	443	imbi1i 341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ))
447	332, 446	mpbi 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
448	445, 447	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
449	435, 436, 448	adddid 10381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
450	449	sumeq2dv 14810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
451	196	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑖) ∈ Fin)
452	435, 436	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
453	435, 448	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
454	451, 452, 453	fsumadd 14847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
455		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑖C𝑘) = (𝑖Cℎ))
456		fvoveq1 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝐶‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(ℎ + 1)))
457	456	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) = ((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥))
458		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑖 − 𝑘) = (𝑖 − ℎ))
459	458	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑖 − ℎ)))
460	459	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))
461	457, 460	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = ℎ → (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)))
462	455, 461	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))))
463		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎℎ(0...𝑖)
464		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘(0...𝑖)
465		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎℎ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))
466		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖Cℎ)
467		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
468		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘(ℎ + 1)
469	357, 468	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘(ℎ + 1))
470		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
471	469, 470	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥)
472		nfmpt1 4970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘))
473	139, 472	nfcxfr 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
474		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖 − ℎ)
475	473, 474	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑖 − ℎ))
476	475, 470	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)
477	471, 467, 476	nfov 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))
478	466, 467, 477	nfov 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)))
479	462, 463, 464, 465, 478	cbvsum 14802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = Σℎ ∈ (0...𝑖)((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)))
480	479	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = Σℎ ∈ (0...𝑖)((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))))
481		1zzd 11736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
482	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℤ)
483	236	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ ℤ)
484		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
485		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘ℎ
486	485, 464	nfel 2982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘 ℎ ∈ (0...𝑖)
487	484, 486	nfan 2004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖))
488	478, 361	nfel 2982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ
489	487, 488	nfim 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ)
490		eleq1 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 ∈ (0...𝑖) ↔ ℎ ∈ (0...𝑖)))
491	490	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖))))
492	462	eleq1d 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = ℎ → (((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ ↔ ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ))
493	491, 492	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = ℎ → (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ)))
494	489, 493, 452	chvar 2416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ)
495		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (𝑖Cℎ) = (𝑖C(𝑗 − 1)))
496		fvoveq1 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (𝐶‘(ℎ + 1)) = (𝐶‘((𝑗 − 1) + 1)))
497	496	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → ((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) = ((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥))
498		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (𝑖 − ℎ) = (𝑖 − (𝑗 − 1)))
499	498	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (𝐷‘(𝑖 − ℎ)) = (𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1))))
500	499	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))
501	497, 500	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)) = (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥)))
502	495, 501	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) = ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))))
503	481, 482, 483, 494, 502	fsumshft 14886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σℎ ∈ (0...𝑖)((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))))
504	480, 503	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))))
505		0p1e1 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
506	505	oveq1i 6915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 + 1)...(𝑖 + 1)) = (1...(𝑖 + 1))
507	506	sumeq1i 14805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥)))
508	507	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))))
509		elfzelz 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
510	509	zcnd 11811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
511		1cnd 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 1 ∈ ℂ)
512	510, 511	npcand 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
513	512	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → (𝐶‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝐶‘𝑗))
514	513	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → ((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) = ((𝐶‘𝑗)‘𝑥))
515	514	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) = ((𝐶‘𝑗)‘𝑥))
516	214	recnd 10385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℂ)
517	516	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℂ)
518	510	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
519	511	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
520	517, 518, 519	subsub3d 10743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖 − (𝑗 − 1)) = ((𝑖 + 1) − 𝑗))
521	520	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1))) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)))
522	521	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))
523	515, 522	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))
524	523	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
525	524	sumeq2dv 14810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
526	525	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
527		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
528		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)))
529		fzfid 13067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
530	185	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
531	509	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
532		1zzd 11736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
533	531, 532	zsubcld 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
534	530, 533	bccld 40328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
535	534	nn0cnd 11680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
536	535	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
537	536	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
538	1	ad2antrr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝜑)
539		0zd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
540	206	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
541	539, 540, 531	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
542	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
543	509	zred 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
544		1red 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
545		0lt1 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 0 < 1
546	545	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 0 < 1)
547		elfzle1 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 1 ≤ 𝑗)
548	542, 544, 543, 546, 547	ltletrd 10516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 0 < 𝑗)
549	542, 543, 548	ltled 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
550	549	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
551	543	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
552	214	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
553		1red 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
554	552, 553	readdcld 10386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
555	212	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
556		elfzle2 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ≤ (𝑖 + 1))
557	556	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ≤ (𝑖 + 1))
558	308	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
559	551, 554, 555, 557, 558	letrd 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ≤ 𝑁)
560	541, 550, 559	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
561		elfz2 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
562	560, 561	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
563	562	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
564	538, 563, 367	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
565	564	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
566		simplr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
567	565, 566	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝐶‘𝑗)‘𝑥) ∈ ℂ)
568	236	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
569	568	peano2zd 11813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
570	569, 531	zsubcld 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℤ)
571	539, 540, 570	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℤ))
572	554, 551	subge0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝑖 + 1)))
573	557, 572	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗))
574	554, 551	resubcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℝ)
575	574	leidd 10918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗))
576	543, 548	elrpd 12153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
577	576	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
578	554, 577	ltsubrpd 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) < (𝑖 + 1))
579	574, 554, 555, 578, 558	ltletrd 10516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) < 𝑁)
580	574, 574, 555, 575, 579	lelttrd 10514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) < 𝑁)
581	574, 555, 580	ltled 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ≤ 𝑁)
582	571, 573, 581	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ≤ 𝑁)))
583		elfz2 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ≤ 𝑁)))
584	582, 583	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁))
585	584	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁))
586		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁))
587		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1) − 𝑗)
588	473, 587	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))
589	588, 360, 361	nff 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ
590	586, 589	nfim 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)
591		ovex 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ V
592		eleq1 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁)))
593	592	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁))))
594		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)))
595	594	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → ((𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ))
596	593, 595	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)))
597	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘)))
598		fvexd 6448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘) ∈ V)
599	597, 598	fvmpt2d 6540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘))
600	599	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ))
601	276, 600	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
602	590, 591, 596, 601	vtoclf 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)
603	538, 585, 602	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)
604	603	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)
605	604, 566	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥) ∈ ℂ)
606	567, 605	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)) ∈ ℂ)
607	537, 606	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) ∈ ℂ)
608		1zzd 11736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 ∈ ℤ)
609	236	peano2zd 11813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
610	505	eqcomi 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 = (0 + 1)
611	610	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 = (0 + 1))
612	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 0 ∈ ℝ)
613		1red 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 ∈ ℝ)
614	185	nn0ge0d 11681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑖)
615	612, 214, 613, 614	leadd1dd 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (0 + 1) ≤ (𝑖 + 1))
616	611, 615	eqbrtrd 4895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 ≤ (𝑖 + 1))
617	608, 609, 616	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (1 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑖 + 1)))
618		eluz2 11974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑖 + 1)))
619	617, 618	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
620		eluzfz2 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑖 + 1) ∈ (1...(𝑖 + 1)))
621	619, 620	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (1...(𝑖 + 1)))
622	621	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑖 + 1) ∈ (1...(𝑖 + 1)))
623		oveq1 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑖 + 1) − 1))
624	623	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑖C(𝑗 − 1)) = (𝑖C((𝑖 + 1) − 1)))
625		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘(𝑖 + 1)))
626	625	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝐶‘𝑗)‘𝑥) = ((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥))
627		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) = ((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))
628	627	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))))
629	628	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))
630	626, 629	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)))
631	624, 630	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = ((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))))
632	527, 528, 529, 607, 622, 631	fsumsplit1 40599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = (((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) + Σ𝑗 ∈ ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))))
633		1cnd 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 ∈ ℂ)
634	516, 633	pncand 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
635	634	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) = (𝑖C𝑖))
636		bcnn 13392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖C𝑖) = 1)
637	185, 636	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖C𝑖) = 1)
638	635, 637	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) = 1)
639	516, 633	addcld 10376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
640	639	subidd 10701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)) = 0)
641	640	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))) = (𝐷‘0))
642	641	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥) = ((𝐷‘0)‘𝑥))
643	642	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)))
644	638, 643	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥))))
645	644	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥))))
646		simpl 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
647		fzofzp1 12860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
648	647	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
649		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
650		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖 + 1)
651	357, 650	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘(𝑖 + 1))
652	651, 360, 361	nff 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ
653	649, 652	nfim 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
654		ovex 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
655		eleq1 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
656	655	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))))
657		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘(𝑖 + 1)))
658	657	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ))
659	656, 658	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)))
660	653, 654, 659, 231	vtoclf 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
661	646, 648, 660	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
662	661	ffvelrnda 6608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
663		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁))
664		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑘0
665	473, 664	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘0)
666	665, 360, 361	nff 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘0):𝑋⟶ℂ
667	663, 666	nfim 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)
668		c0ex 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ V
669		eleq1 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ∈ (0...𝑁)))
670	669	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁))))
671		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘0))
672	671	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ))
673	670, 672	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)))
674	667, 668, 673, 601	vtoclf 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)
675	1, 112, 674	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)
676	675	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)
677	676	ffvelrnda 6608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘0)‘𝑥) ∈ ℂ)
678	662, 677	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) ∈ ℂ)
679	678	mulid2d 10375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥))) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)))
680	645, 679	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)))
681		1m1e0 11423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 − 1) = 0
682	681	fveq2i 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
683	3	eqcomi 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℤ≥‘0) = ℕ0
684	682, 683	eqtr2i 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
685	684	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1)))
686	185, 685	eleqtrd 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
687		fzdifsuc2 40322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) → (1...𝑖) = ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}))
688	686, 687	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (1...𝑖) = ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}))
689	688	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}) = (1...𝑖))
690	689	sumeq1d 14808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → Σ𝑗 ∈ ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
691	690	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
692	680, 691	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) + Σ𝑗 ∈ ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))))
693	526, 632, 692	3eqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))))
694	504, 508, 693	3eqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))))
695		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖C0)
696	357, 664	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘0)
697	696, 470	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐶‘0)‘𝑥)
698		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1) − 0)
699	473, 698	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))
700	699, 470	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)
701	697, 467, 700	nfov 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))
702	695, 467, 701	nfov 6935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)))
703	683	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (ℤ≥‘0) = ℕ0)
704	185, 703	eleqtrrd 2909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
705		eluzfz1 12641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑖))
706	704, 705	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 0 ∈ (0...𝑖))
707	706	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ (0...𝑖))
708		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑖C𝑘) = (𝑖C0))
709	104	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐶‘0)‘𝑥))
710		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑖 + 1) − 𝑘) = ((𝑖 + 1) − 0))
711	710	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 0)))
712	711	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))
713	709, 712	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)))
714	708, 713	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))))
715	484, 702, 451, 453, 707, 714	fsumsplit1 40599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
716	639	subid1d 10702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1) − 0) = (𝑖 + 1))
717	716	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 0)) = (𝐷‘(𝑖 + 1)))
718	717	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))
719	718	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)) = (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
720	719	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) = ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
721	720	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
722	721	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
723		bcn0 13390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖C0) = 1)
724	185, 723	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖C0) = 1)
725	724	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
726	725	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
727	696, 360, 361	nff 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘0):𝑋⟶ℂ
728	663, 727	nfim 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)
729	104	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ))
730	670, 729	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)))
731	728, 668, 730, 231	vtoclf 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)
732	1, 112, 731	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)
733	732	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)
734	733	ffvelrnda 6608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘0)‘𝑥) ∈ ℂ)
735	473, 650	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑖 + 1))
736	735, 360, 361	nff 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ
737	649, 736	nfim 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
738		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘(𝑖 + 1)))
739	738	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ))
740	656, 739	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)))
741	737, 654, 740, 601	vtoclf 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
742	646, 648, 741	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
743	742	ffvelrnda 6608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
744	734, 743	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) ∈ ℂ)
745	744	mulid2d 10375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) = (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
746	726, 745	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) = (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
747		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ (0..^𝑁)
748		1zzd 11736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 1 ∈ ℤ)
749	236	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 𝑖 ∈ ℤ)
750		eldifi 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ (0...𝑖))
751		elfzelz 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑖) → 𝑗 ∈ ℤ)
752	750, 751	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ ℤ)
753	752	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 𝑗 ∈ ℤ)
754	748, 749, 753	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
755		elfznn0 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑖) → 𝑗 ∈ ℕ0)
756	750, 755	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ ℕ0)
757		eldifsni 4540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ≠ 0)
758	756, 757	jca 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0))
759		elnnne0 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0))
760	758, 759	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ ℕ)
761		nnge1 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
762	760, 761	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 1 ≤ 𝑗)
763	762	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 1 ≤ 𝑗)
764		elfzle2 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑖) → 𝑗 ≤ 𝑖)
765	750, 764	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ≤ 𝑖)
766	765	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 𝑗 ≤ 𝑖)
767	754, 763, 766	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖)))
768		elfz2 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖)))
769	767, 768	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 𝑗 ∈ (1...𝑖))
770	769	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ (1...𝑖)))
771		0zd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 ∈ ℤ)
772		elfzel2 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
773		elfzelz 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ ℤ)
774	771, 772, 773	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
775	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 ∈ ℝ)
776	773	zred 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ ℝ)
777		1red 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 1 ∈ ℝ)
778	545	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 < 1)
779		elfzle1 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 1 ≤ 𝑗)
780	775, 777, 776, 778, 779	ltletrd 10516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 < 𝑗)
781	775, 776, 780	ltled 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 ≤ 𝑗)
782		elfzle2 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ≤ 𝑖)
783	774, 781, 782	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖)))
784		elfz2 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑖) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖)))
785	783, 784	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ (0...𝑖))
786	775, 780	gtned 10491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ≠ 0)
787		nelsn 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ≠ 0 → ¬ 𝑗 ∈ {0})
788	786, 787	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → ¬ 𝑗 ∈ {0})
789	785, 788	eldifd 3809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}))
790	789	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}))
791	790	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})))
792	770, 791	impbid 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) ↔ 𝑗 ∈ (1...𝑖)))
793	747, 792	alrimi 2258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ∀𝑗(𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) ↔ 𝑗 ∈ (1...𝑖)))
794		dfcleq 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((0...𝑖) ∖ {0}) = (1...𝑖) ↔ ∀𝑗(𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) ↔ 𝑗 ∈ (1...𝑖)))
795	793, 794	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((0...𝑖) ∖ {0}) = (1...𝑖))
796	795	sumeq1d 14808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
797	796	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
798	746, 797	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
799	715, 722, 798	3eqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
800	694, 799	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))) + ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
801		fzfid 13067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...𝑖) ∈ Fin)
802	185	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
803	790, 752	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 𝑗 ∈ ℤ)
804		1zzd 11736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 1 ∈ ℤ)
805	803, 804	zsubcld 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
806	802, 805	bccld 40328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
807	806	nn0cnd 11680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
808	807	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
809	808	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
810		simpl 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
811		fzelp1 12686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)))
812	811	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)))
813	810, 812, 567	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → ((𝐶‘𝑗)‘𝑥) ∈ ℂ)
814	812, 605	syldan 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥) ∈ ℂ)
815	813, 814	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)) ∈ ℂ)
816	809, 815	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) ∈ ℂ)
817	801, 816	fsumcl 14841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) ∈ ℂ)
818	185	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
819		elfzelz 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑖) → 𝑘 ∈ ℤ)
820	819	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℤ)
821	818, 820	bccld 40328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℕ0)
822	821	nn0cnd 11680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
823	822	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
824	823	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
825		simpll 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
826		simplr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
827	785	ssriv 3831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...𝑖) ⊆ (0...𝑖)
828		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑖) → 𝑘 ∈ (1...𝑖))
829	827, 828	sseldi 3825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑖) → 𝑘 ∈ (0...𝑖))
830	829	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑘 ∈ (0...𝑖))
831	825, 826, 830, 445	syl21anc 873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
832	830, 447	syldan 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
833	831, 832	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
834	824, 833	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
835	801, 834	fsumcl 14841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
836	678, 817, 744, 835	add4d 10583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))) + ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + (Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
837		oveq1 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
838	837	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑖C(𝑗 − 1)) = (𝑖C(𝑘 − 1)))
839		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘𝑘))
840	839	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶‘𝑗)‘𝑥) = ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))
841		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) − 𝑗) = ((𝑖 + 1) − 𝑘))
842	841	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
843	842	fveq1d 6435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))
844	840, 843	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
845	838, 844	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = ((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
846		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑖)
847		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗(1...𝑖)
848		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖C(𝑗 − 1))
849	359, 470	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐶‘𝑗)‘𝑥)
850	588, 470	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)
851	849, 467, 850	nfov 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))
852	848, 467, 851	nfov 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))
853		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
854	845, 846, 847, 852, 853	cbvsum 14802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
855	854	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
856	855	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
857		peano2zm 11748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
858	820, 857	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
859	818, 858	bccld 40328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
860	859	nn0cnd 11680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
861	860	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
862	861	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
863	862, 833	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
864	801, 863, 834	fsumadd 14847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
865	864	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
866	860, 822	addcomd 10557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) = ((𝑖C𝑘) + (𝑖C(𝑘 − 1))))
867		bcpasc 13401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑖C𝑘) + (𝑖C(𝑘 − 1))) = ((𝑖 + 1)C𝑘))
868	818, 820, 867	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) + (𝑖C(𝑘 − 1))) = ((𝑖 + 1)C𝑘))
869	866, 868	eqtr2d 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) = ((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)))
870	869	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
871	870	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
872	871	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
873	862, 824, 833	adddird 10382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
874	872, 873	eqtr2d 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
875	874	sumeq2dv 14810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
876	856, 865, 875	3eqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
877	876	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + (Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
878		peano2nn0 11660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
879	818, 878	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
880	879, 820	bccld 40328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
881	880	nn0cnd 11680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
882	881	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
883	882	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
884	883, 833	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
885	801, 884	fsumcl 14841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
886	678, 744, 885	addassd 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
887	185, 878	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
888		bcn0 13390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1)C0) = 1)
889	887, 888	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1)C0) = 1)
890	889, 719	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
891	890	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
892	891, 745	eqtr2d 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) = (((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))))
893	795	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0...𝑖) ∖ {0}) = (1...𝑖))
894	893	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...𝑖) = ((0...𝑖) ∖ {0}))
895	894	sumeq1d 14808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
896	892, 895	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = ((((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
897		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1)C0)
898	897, 467, 701	nfov 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)))
899	197, 878	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
900	899, 199	bccld 40328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
901	900	nn0cnd 11680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
902	901	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
903	902	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
904	903, 448	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
905		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑖 + 1)C𝑘) = ((𝑖 + 1)C0))
906	905, 713	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))))
907	484, 898, 451, 904, 707, 906	fsumsplit1 40599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = ((((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
908	907	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
909	896, 908	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
910	909	oveq2d 6921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
911		bcnn 13392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) = 1)
912	887, 911	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) = 1)
913	912	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) = 1)
914	913	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))))
915	641	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))) = (𝐷‘0))
916	915	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ))
917	676, 916	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))):𝑋⟶ℂ)
918	917	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))):𝑋⟶ℂ)
919		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
920	918, 919	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
921	662, 920	mulcld 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)) ∈ ℂ)
922	921	mulid2d 10375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)))
923	643	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)))
924	914, 922, 923	3eqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) = (((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))))
925		fzdifsuc 12694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑖) = ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}))
926	704, 925	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (0...𝑖) = ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}))
927	926	sumeq1d 14808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
928	927	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
929	924, 928	oveq12d 6923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = ((((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
930		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1))
931	651, 470	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥)
932		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))
933	473, 932	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))
934	933, 470	nffv 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)
935	931, 467, 934	nfov 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))
936	930, 467, 935	nfov 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)))
937		fzfid 13067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
938	887	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
939		elfzelz 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
940	939	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
941	938, 940	bccld 40328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
942	941	nn0cnd 11680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
943	942	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
944	943	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
945	646	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝜑)
946	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
947	206	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
948	946, 947, 940	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
949		elfzle1 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1)) → 0 ≤ 𝑘)
950	949	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 0 ≤ 𝑘)
951	940	zred 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
952	938	nn0red 11679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
953	212	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
954		elfzle2 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝑖 + 1))
955	954	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ≤ (𝑖 + 1))
956	308	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
957	951, 952, 953, 955, 956	letrd 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ≤ 𝑁)
958	948, 950, 957	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
959	958, 223	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
960	959	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
961	945, 960, 231	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
962	961	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
963		simplr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
964	962, 963	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
965	945	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝜑)
966	609	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
967	966, 940	zsubcld 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
968	946, 947, 967	3jca 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ))
969	952, 951	subge0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑖 + 1)))
970	955, 969	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘))
971	952, 951	resubcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
972	953, 951	resubcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
973	953, 171, 250	sylancl 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑁 − 0) ∈ ℝ)
974	952, 953, 951, 956	lesub1dd 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘))
975	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 0 ∈ ℝ)
976	975, 951, 953, 950	lesub2dd 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑁 − 𝑘) ≤ (𝑁 − 0))
977	971, 972, 973, 974, 976	letrd 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ (𝑁 − 0))
978	256	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
979	977, 978	breqtrd 4899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)
980	968, 970, 979	jca32 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)))
981	980, 314	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
982	981	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
983	982	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
984		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
985	984	feq1d 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → ((𝐷‘𝑗):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
986	319, 985	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑗):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ ((