Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnmptconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnmptconst 44657
Description: The 𝑁-th derivative of a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnmptconst.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvnmptconst.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvnmptconst.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvnmptconst.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dvnmptconst (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem dvnmptconst
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnmptconst.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 id 22 . 2 (πœ‘ β†’ πœ‘)
3 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜1))
43eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑛 = 1 β†’ (((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜1) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
54imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜1) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))))
6 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š))
76eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
87imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))))
9 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜(π‘š + 1)))
109eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
1110imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))))
12 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘))
1312eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
1413imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))))
15 dvnmptconst.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
16 recnprss 25421 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
18 dvnmptconst.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1918adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
20 restsspw 17377 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) βŠ† 𝒫 𝑆
21 dvnmptconst.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
2220, 21sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
23 elpwi 4610 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
25 cnex 11191 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
2719, 24, 26, 15mptelpm 43872 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
28 dvn1 25443 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜1) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
2917, 27, 28syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜1) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
3015, 21, 18dvmptconst 44631 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
3129, 30eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜1) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
32 simp3 1139 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„• ∧ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
33 simp1 1137 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„• ∧ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ∧ πœ‘) β†’ π‘š ∈ β„•)
34 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ∧ πœ‘) β†’ πœ‘)
35 simpl 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ∧ πœ‘) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
36 pm3.35 802 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
3734, 35, 36syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ∧ πœ‘) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
38373adant1 1131 . . . . 5 ((π‘š ∈ β„• ∧ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ∧ πœ‘) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
39173ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
40273ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
41 nnnn0 12479 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•0)
42413ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
43 dvnp1 25442 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š)))
45 oveq2 7417 . . . . . . 7 (((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
46453ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
47 0cnd 11207 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
4815, 21, 47dvmptconst 44631 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
49483ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
5044, 46, 493eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
5132, 33, 38, 50syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘š ∈ β„• ∧ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) ∧ πœ‘) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
52513exp 1120 . . 3 (π‘š ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))))
535, 8, 11, 14, 31, 52nnind 12230 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
541, 2, 53sylc 65 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944   D cdv 25380   D𝑛 cdvn 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385
This theorem is referenced by:  dvnprodlem3  44664
  Copyright terms: Public domain W3C validator