Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnmptconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnmptconst 45956
Description: The 𝑁-th derivative of a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnmptconst.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnmptconst.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnmptconst.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvnmptconst.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dvnmptconst (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem dvnmptconst
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnmptconst.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
3 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1))
43eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑛 = 1 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
54imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
6 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚))
76eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
87imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
9 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)))
109eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
1110imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
12 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁))
1312eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
1413imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
15 dvnmptconst.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
16 recnprss 25939 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
18 dvnmptconst.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
20 restsspw 17476 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
21 dvnmptconst.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
2220, 21sselid 3981 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
23 elpwi 4607 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
25 cnex 11236 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
2719, 24, 26, 15mptelpm 45181 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28 dvn1 25962 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
2917, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
3015, 21, 18dvmptconst 45930 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
3129, 30eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
32 simp3 1139 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
33 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ)
34 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
35 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
36 pm3.35 803 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
38373adant1 1131 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
39173ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
40273ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
41 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
42413ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
43 dvnp1 25961 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)))
45 oveq2 7439 . . . . . . 7 (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
46453ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
47 0cnd 11254 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4815, 21, 47dvmptconst 45930 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
49483ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
5044, 46, 493eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
5132, 33, 38, 50syl3anc 1373 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
52513exp 1120 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
535, 8, 11, 14, 31, 52nnind 12284 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
541, 2, 53sylc 65 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cn 12266  0cn0 12526  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364   D cdv 25898   D𝑛 cdvn 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-dvn 25903
This theorem is referenced by:  dvnprodlem3  45963
  Copyright terms: Public domain W3C validator