Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnmptconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnmptconst 42949
 Description: The 𝑁-th derivative of a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnmptconst.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnmptconst.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnmptconst.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvnmptconst.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dvnmptconst (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem dvnmptconst
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnmptconst.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
3 fveq2 6658 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1))
43eqeq1d 2760 . . . 4 (𝑛 = 1 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
54imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
6 fveq2 6658 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚))
76eqeq1d 2760 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
87imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
9 fveq2 6658 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)))
109eqeq1d 2760 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
1110imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
12 fveq2 6658 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁))
1312eqeq1d 2760 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
1413imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
15 dvnmptconst.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
16 recnprss 24603 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
18 dvnmptconst.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
20 restsspw 16763 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
21 dvnmptconst.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
2220, 21sseldi 3890 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
23 elpwi 4503 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
25 cnex 10656 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
2719, 24, 26, 15mptelpm 42171 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28 dvn1 24625 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
2917, 27, 28syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
3015, 21, 18dvmptconst 42923 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
3129, 30eqtrd 2793 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
32 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
33 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ)
34 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
35 simpl 486 . . . . . . 7 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
36 pm3.35 802 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
3734, 35, 36syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
38373adant1 1127 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
39173ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
40273ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
41 nnnn0 11941 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
42413ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
43 dvnp1 24624 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)))
45 oveq2 7158 . . . . . . 7 (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
46453ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
47 0cnd 10672 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4815, 21, 47dvmptconst 42923 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
49483ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
5044, 46, 493eqtrd 2797 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
5132, 33, 38, 50syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
52513exp 1116 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
535, 8, 11, 14, 31, 52nnind 11692 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
541, 2, 53sylc 65 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  {cpr 4524   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↑pm cpm 8417  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934   ↾t crest 16752  TopOpenctopn 16753  ℂfldccnfld 20166   D cdv 24562   D𝑛 cdvn 24563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-icc 12786  df-fz 12940  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-rest 16754  df-topn 16755  df-topgen 16775  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-lp 21836  df-perf 21837  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-haus 22015  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-xms 23022  df-ms 23023  df-cncf 23579  df-limc 24565  df-dv 24566  df-dvn 24567 This theorem is referenced by:  dvnprodlem3  42956
 Copyright terms: Public domain W3C validator