Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnmptconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnmptconst 44172
Description: The 𝑁-th derivative of a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnmptconst.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnmptconst.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnmptconst.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvnmptconst.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dvnmptconst (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem dvnmptconst
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnmptconst.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
3 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1))
43eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑛 = 1 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
54imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
6 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚))
76eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
87imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
9 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)))
109eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
1110imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
12 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁))
1312eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
1413imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
15 dvnmptconst.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
16 recnprss 25268 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
18 dvnmptconst.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
20 restsspw 17313 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
21 dvnmptconst.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
2220, 21sselid 3942 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
23 elpwi 4567 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
25 cnex 11132 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
2719, 24, 26, 15mptelpm 43383 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28 dvn1 25290 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
2917, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
3015, 21, 18dvmptconst 44146 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
3129, 30eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘1) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
32 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
33 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℕ)
34 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
35 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
36 pm3.35 801 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
38373adant1 1130 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
39173ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
40273ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
41 nnnn0 12420 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
42413ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
43 dvnp1 25289 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)))
45 oveq2 7365 . . . . . . 7 (((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
46453ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
47 0cnd 11148 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4815, 21, 47dvmptconst 44146 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
49483ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
5044, 46, 493eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
5132, 33, 38, 50syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
52513exp 1119 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ 0)) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))))
535, 8, 11, 14, 31, 52nnind 12171 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0)))
541, 2, 53sylc 65 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋𝐴))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  𝒫 cpw 4560  {cpr 4588  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  pm cpm 8766  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cn 12153  0cn0 12413  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796   D cdv 25227   D𝑛 cdvn 25228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232
This theorem is referenced by:  dvnprodlem3  44179
  Copyright terms: Public domain W3C validator