Theorem elpm2g 8763

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))

Proof of Theorem elpm2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmg 8762	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
2		funssxp 6674	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   × cxp 5609  dom cdm 5611  Fun wfun 6470  ⟶wf 6472  (class class class)co 7341   ↑_pm cpm 8746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-pm 8748

This theorem is referenced by:  elpm2r  8764  elpmi  8765  elpm2  8793  lmcnp  23214  cmetcaulem  25210  mbfres  25567  dvbsss  25825  perfdvf  25826  dvnff  25847  dvnf  25851  dvnbss  25852  dvnadd  25853  cpnord  25859  mptelpm  45213  dvnprodlem3  45986  etransclem2  46274