MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2g 8632
Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2g ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))

Proof of Theorem elpm2g
StepHypRef Expression
1 elpmg 8631 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
2 funssxp 6629 . 2 ((Fun 𝐹𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
31, 2bitrdi 287 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wss 3887   × cxp 5587  dom cdm 5589  Fun wfun 6427  wf 6429  (class class class)co 7275  pm cpm 8616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-pm 8618
This theorem is referenced by:  elpm2r  8633  elpmi  8634  elpm2  8662  lmcnp  22455  cmetcaulem  24452  mbfres  24808  dvbsss  25066  perfdvf  25067  dvnff  25087  dvnf  25091  dvnbss  25092  dvnadd  25093  cpnord  25099  mptelpm  42712  dvnprodlem3  43489  etransclem2  43777
  Copyright terms: Public domain W3C validator