Theorem elpm2g 8885

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))

Proof of Theorem elpm2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmg 8884	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
2		funssxp 6763	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950   × cxp 5682  dom cdm 5684  Fun wfun 6554  ⟶wf 6556  (class class class)co 7432   ↑_pm cpm 8868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-pm 8870

This theorem is referenced by:  elpm2r  8886  elpmi  8887  elpm2  8915  lmcnp  23313  cmetcaulem  25323  mbfres  25680  dvbsss  25938  perfdvf  25939  dvnff  25960  dvnf  25964  dvnbss  25965  dvnadd  25966  cpnord  25972  mptelpm  45186  dvnprodlem3  45968  etransclem2  46256