Theorem elpm2g 8781

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))

Proof of Theorem elpm2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmg 8780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
2		funssxp 6683	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	bitrdi 288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   × cxp 5616  dom cdm 5618  Fun wfun 6479  ⟶wf 6481  (class class class)co 7356   ↑_pm cpm 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-pm 8766

This theorem is referenced by:  elpm2r  8782  elpmi  8783  elpm2  8812  lmcnp  23287  cmetcaulem  25273  mbfres  25629  dvbsss  25887  perfdvf  25888  dvnff  25908  dvnf  25912  dvnbss  25913  dvnadd  25914  cpnord  25920  mptelpm  45623  dvnprodlem3  46391  etransclem2  46679