Theorem elpm2g 8590

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))

Proof of Theorem elpm2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmg 8589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
2		funssxp 6613	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   × cxp 5578  dom cdm 5580  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255   ↑_pm cpm 8574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-pm 8576

This theorem is referenced by:  elpm2r  8591  elpmi  8592  elpm2  8620  lmcnp  22363  cmetcaulem  24357  mbfres  24713  dvbsss  24971  perfdvf  24972  dvnff  24992  dvnf  24996  dvnbss  24997  dvnadd  24998  cpnord  25004  mptelpm  42601  dvnprodlem3  43379  etransclem2  43667