Theorem dmmptd 6680

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	dmmpt 6241	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
3		dmmptd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
4	3	elexd 3478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
5	4	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
6		rabid2 3449	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
7	5, 6	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
8	2, 7	eqtr4id 2817	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674

This theorem is referenced by:  lo1eq  15615  rlimeq  15616  rlimcld2  15625  rlimcn3  15637  rlimmptrcl  15655  rlimsqzlem  15696  dprdz  20097  alexsublem  24201  cmetcaulem  25447  minveclem3b  25587  mbfneg  25809  mbfsup  25823  mbfinf  25824  mbflimsup  25825  itg2monolem1  25909  itg2mono  25912  itg2i1fseq2  25915  itg2cnlem1  25920  isibl2  25925  iblcnlem  25948  limccnp2  26051  limcco  26052  dvmptres3  26115  itgsubstlem  26207  iblulm  26570  rlimcnp2  27131  dchrisumlema  27652  htthlem  31269  qusrn  33718  esplyfvaln  33964  extdgfialglem1  34082  algextdeglem4  34110  dmqmap  39122  expgrowth  45065  mptelpm  45914  choicefi  45937  mullimc  46352  limcmptdm  46369  dvsinax  46647  dirkercncflem2  46838  fourierdlem62  46902  psmeasure  47205  ovnovollem2  47391  smfmbfcex  47494  smflimsuplem2  47555