MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmmptd 6696
Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmmptd.a 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
dmmptd.c ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
Assertion
Ref Expression
dmmptd (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd
StepHypRef Expression
1 dmmptd.a . . 3 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
21dmmpt 6240 . 2 dom 𝐴 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V}
3 dmmptd.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
43elexd 3495 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ V)
54ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
6 rabid2 3465 . . 3 (𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
75, 6sylibr 233 . 2 (𝜑𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V})
82, 7eqtr4id 2792 1 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  cmpt 5232  dom cdm 5677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690
This theorem is referenced by:  lo1eq  15512  rlimeq  15513  rlimcld2  15522  rlimcn3  15534  rlimmptrcl  15552  rlimsqzlem  15595  dprdz  19900  alexsublem  23548  cmetcaulem  24805  minveclem3b  24945  mbfneg  25167  mbfsup  25181  mbfinf  25182  mbflimsup  25183  itg2monolem1  25268  itg2mono  25271  itg2i1fseq2  25274  itg2cnlem1  25279  isibl2  25284  iblcnlem  25306  limccnp2  25409  limcco  25410  dvmptres3  25473  itgsubstlem  25565  iblulm  25919  rlimcnp2  26471  dchrisumlema  26991  htthlem  30170  qusrn  32520  algextdeglem1  32772  expgrowth  43094  mptelpm  43872  choicefi  43899  mullimc  44332  limcmptdm  44351  dvsinax  44629  dirkercncflem2  44820  fourierdlem62  44884  psmeasure  45187  ovnovollem2  45373  smfmbfcex  45476  smflimsuplem2  45537
  Copyright terms: Public domain W3C validator