MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmmptd 6647
Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmmptd.a 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
dmmptd.c ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
Assertion
Ref Expression
dmmptd (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd
StepHypRef Expression
1 dmmptd.a . . 3 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
21dmmpt 6193 . 2 dom 𝐴 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V}
3 dmmptd.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
43elexd 3464 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ V)
54ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
6 rabid2 3435 . . 3 (𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
75, 6sylibr 233 . 2 (𝜑𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V})
82, 7eqtr4id 2792 1 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444  cmpt 5189  dom cdm 5634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647
This theorem is referenced by:  lo1eq  15456  rlimeq  15457  rlimcld2  15466  rlimcn3  15478  rlimmptrcl  15496  rlimsqzlem  15539  dprdz  19814  alexsublem  23411  cmetcaulem  24668  minveclem3b  24808  mbfneg  25030  mbfsup  25044  mbfinf  25045  mbflimsup  25046  itg2monolem1  25131  itg2mono  25134  itg2i1fseq2  25137  itg2cnlem1  25142  isibl2  25147  iblcnlem  25169  limccnp2  25272  limcco  25273  dvmptres3  25336  itgsubstlem  25428  iblulm  25782  rlimcnp2  26332  dchrisumlema  26852  htthlem  29901  expgrowth  42703  mptelpm  43481  choicefi  43508  mullimc  43943  limcmptdm  43962  dvsinax  44240  dirkercncflem2  44431  fourierdlem62  44495  psmeasure  44798  ovnovollem2  44984  smfmbfcex  45087  smflimsuplem2  45148
  Copyright terms: Public domain W3C validator