Theorem dmmptd 6235

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
2		elex 3400	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
4	3	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
5		rabid2 3300	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 226	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
7		dmmptd.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
8	7	dmmpt 5849	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
9	6, 8	syl6reqr 2852	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3385   ↦ cmpt 4922  dom cdm 5312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2  8826  lo1eq  14640  rlimeq  14641  rlimcld2  14650  rlimcn2  14662  rlimmptrcl  14679  rlimsqzlem  14720  dprdz  18745  alexsublem  22176  cmetcaulem  23414  minveclem3b  23538  mbfneg  23758  mbfsup  23772  mbfinf  23773  mbflimsup  23774  itg2monolem1  23858  itg2mono  23861  itg2i1fseq2  23864  itg2cnlem1  23869  isibl2  23874  iblcnlem  23896  limccnp2  23997  limcco  23998  dvmptres3  24060  itgsubstlem  24152  iblulm  24502  rlimcnp2  25045  dchrisumlema  25529  htthlem  28299  expgrowth  39316  mptelpm  40112  choicefi  40144  mullimc  40592  limcmptdm  40611  dvsinax  40871  dirkercncflem2  41064  fourierdlem62  41128  psmeasure  41431  ovnovollem2  41617  smflimsuplem2  41773