Theorem dmmptd 6630

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	dmmpt 6191	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
3		dmmptd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
4	3	elexd 3454	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
5	4	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
6		rabid2 3424	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
7	5, 6	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
8	2, 7	eqtr4id 2793	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3054  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631

This theorem is referenced by:  lo1eq  15521  rlimeq  15522  rlimcld2  15531  rlimcn3  15543  rlimmptrcl  15561  rlimsqzlem  15602  dprdz  19998  alexsublem  24027  cmetcaulem  25273  minveclem3b  25413  mbfneg  25635  mbfsup  25649  mbfinf  25650  mbflimsup  25651  itg2monolem1  25735  itg2mono  25738  itg2i1fseq2  25741  itg2cnlem1  25746  isibl2  25751  iblcnlem  25774  limccnp2  25877  limcco  25878  dvmptres3  25941  itgsubstlem  26033  iblulm  26390  rlimcnp2  26948  dchrisumlema  27469  htthlem  31006  qusrn  33492  esplyfvaln  33758  extdgfialglem1  33876  algextdeglem4  33904  dmqmap  38820  expgrowth  44779  mptelpm  45623  choicefi  45646  mullimc  46061  limcmptdm  46078  dvsinax  46356  dirkercncflem2  46547  fourierdlem62  46611  psmeasure  46914  ovnovollem2  47100  smfmbfcex  47203  smflimsuplem2  47264