Theorem mreuni 17531

Description: Since the entire base set of a Moore collection is the greatest element of it, the base set can be recovered from a Moore collection by set union. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreuni	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)

Proof of Theorem mreuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mre1cl 17525	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
2		mresspw 17523	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
3		elpwuni 5062	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐶 = 𝑋))
4	3	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
5	1, 2, 4	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  Moorecmre 17513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-mre 17517

This theorem is referenced by:  mreunirn  17532  mrcfval  17543  mrcssv  17549  mrisval  17565  mrelatlub  18497  mreclatBAD  18498  mreuniss  49259  clduni  49260  mreclat  49356