Theorem mreuni 17562

Description: Since the entire base set of a Moore collection is the greatest element of it, the base set can be recovered from a Moore collection by set union. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreuni	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)

Proof of Theorem mreuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mre1cl 17556	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
2		mresspw 17554	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
3		elpwuni 5047	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐶 = 𝑋))
4	3	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
5	1, 2, 4	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  Moorecmre 17544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-mre 17548

This theorem is referenced by:  mreunirn  17563  mrcfval  17574  mrcssv  17580  mrisval  17596  mrelatlub  18528  mreclatBAD  18529  mreuniss  49375  clduni  49376  mreclat  49472