MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreclatBAD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreclatBAD 17926
Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) TODO (df-riota 7140 update): Reprove using isclat 17848 instead of the isclatBAD. hypothesis. See commented-out mreclat above.
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
isclatBAD. (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
Assertion
Ref Expression
mreclatBAD (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mreclatBAD
StepHypRef Expression
1 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
21ipopos 17899 . . 3 𝐼 ∈ Poset
32a1i 11 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
4 eqid 2739 . . . . . . . 8 (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
5 eqid 2739 . . . . . . . 8 (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼)
61, 4, 5mrelatlub 17925 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((lub‘𝐼)‘𝑥) = ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥))
7 uniss 4814 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐶 𝑥 𝐶)
87adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 𝐶)
9 mreuni 16987 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = 𝑋)
109adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐶 = 𝑋)
118, 10sseqtrd 3927 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝑋)
124mrccl 16998 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥) ∈ 𝐶)
1311, 12syldan 594 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥) ∈ 𝐶)
146, 13eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
15 fveq2 6687 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ((glb‘𝐼)‘∅))
1615adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ((glb‘𝐼)‘∅))
17 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼)
181, 17mrelatglb0 17924 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ((glb‘𝐼)‘∅) = 𝑋)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘∅) = 𝑋)
2016, 19eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = 𝑋)
21 mre1cl 16981 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)
2221ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑋𝐶)
2320, 22eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
241, 17mrelatglb 17923 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = 𝑥)
25 mreintcl 16982 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐶)
2624, 25eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
27263expa 1119 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
2823, 27pm2.61dane 3022 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
2914, 28jca 515 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3029ex 416 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)))
311ipobas 17894 . . . . 5 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
32 sseq2 3913 . . . . . 6 (𝐶 = (Base‘𝐼) → (𝑥𝐶𝑥 ⊆ (Base‘𝐼)))
33 eleq2 2822 . . . . . . 7 (𝐶 = (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))
34 eleq2 2822 . . . . . . 7 (𝐶 = (Base‘𝐼) → (((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))
3533, 34anbi12d 634 . . . . . 6 (𝐶 = (Base‘𝐼) → ((((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶) ↔ (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
3632, 35imbi12d 348 . . . . 5 (𝐶 = (Base‘𝐼) → ((𝑥𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
3731, 36syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ((𝑥𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
3830, 37mpbid 235 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
3938alrimiv 1934 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
40 isclatBAD. . 2 (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
413, 39, 40sylanbrc 586 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wss 3853  c0 4221   cuni 4806   cint 4846  cfv 6350  Basecbs 16599  Moorecmre 16969  mrClscmrc 16970  Posetcpo 17679  lubclub 17681  glbcglb 17682  CLatccla 17846  toInccipo 17890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-fz 12995  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ocomp 16702  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-proset 17667  df-poset 17685  df-lub 17713  df-glb 17714  df-odu 17868  df-ipo 17891
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator