Theorem mreclatBAD 18518

Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) TODO (df-riota 7315 update): Reprove using isclat 18455 instead of the isclatBAD. hypothesis. See commented-out mreclat above. See mreclat 49469 for a good version.

Hypotheses

Ref	Expression
mreclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
isclatBAD.	⊢ (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))

Assertion

Ref	Expression
mreclatBAD	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mreclatBAD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreclat.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
2	1	ipopos 18491	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼)
6	1, 4, 5	mrelatlub 18517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((lub‘𝐼)‘𝑥) = ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥))
7		uniss 4859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐶 → ∪ 𝑥 ⊆ ∪ 𝐶)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝑥 ⊆ ∪ 𝐶)
9		mreuni 17551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
11	8, 10	sseqtrd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋)
12	4	mrccl 17566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
13	11, 12	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
14	6, 13	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
15		fveq2 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ((glb‘𝐼)‘∅))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ((glb‘𝐼)‘∅))
17		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼)
18	1, 17	mrelatglb0 18516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ((glb‘𝐼)‘∅) = 𝑋)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘∅) = 𝑋)
20	16, 19	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = 𝑋)
21		mre1cl 17545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
22	21	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐶)
23	20, 22	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
24	1, 17	mrelatglb 18515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ∩ 𝑥)
25		mreintcl 17546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
26	24, 25	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
27	26	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
28	23, 27	pm2.61dane 3020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
29	14, 28	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶))
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)))
31	1	ipobas 18486	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
32		sseq2 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → (𝑥 ⊆ 𝐶 ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝐼)))
33		eleq2 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))
34		eleq2 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → (((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))
35	33, 34	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → ((((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶) ↔ (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
36	32, 35	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → ((𝑥 ⊆ 𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
37	31, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ((𝑥 ⊆ 𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
38	30, 37	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
39	38	alrimiv 1929	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
40		isclatBAD.	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
41	3, 39, 40	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  ‘cfv 6490  Basecbs 17168  Moorecmre 17533  mrClscmrc 17534  Posetcpo 18262  lubclub 18264  glbcglb 18265  CLatccla 18453  toInccipo 18482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ocomp 17230  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-odu 18242  df-proset 18249  df-poset 18268  df-lub 18299  df-glb 18300  df-ipo 18483

This theorem is referenced by: (None)