Theorem mreclatBAD 18521

Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) TODO (df-riota 7314 update): Reprove using isclat 18458 instead of the isclatBAD. hypothesis. See commented-out mreclat above. See mreclat 49495 for a good version.

Hypotheses

Ref	Expression
mreclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
isclatBAD.	⊢ (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))

Assertion

Ref	Expression
mreclatBAD	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mreclatBAD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreclat.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
2	1	ipopos 18494	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
4		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
5		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼)
6	1, 4, 5	mrelatlub 18520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((lub‘𝐼)‘𝑥) = ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥))
7		uniss 4847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐶 → ∪ 𝑥 ⊆ ∪ 𝐶)
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝑥 ⊆ ∪ 𝐶)
9		mreuni 17554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
11	8, 10	sseqtrd 3951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋)
12	4	mrccl 17569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
13	11, 12	syldan 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
14	6, 13	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
15		fveq2 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ((glb‘𝐼)‘∅))
16	15	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ((glb‘𝐼)‘∅))
17		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼)
18	1, 17	mrelatglb0 18519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ((glb‘𝐼)‘∅) = 𝑋)
19	18	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘∅) = 𝑋)
20	16, 19	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = 𝑋)
21		mre1cl 17548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
22	21	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐶)
23	20, 22	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
24	1, 17	mrelatglb 18518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ∩ 𝑥)
25		mreintcl 17549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
26	24, 25	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
27	26	3expa 1124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
28	23, 27	pm2.61dane 3021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
29	14, 28	jca 516	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶))
30	29	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)))
31	1	ipobas 18489	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
32		sseq2 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → (𝑥 ⊆ 𝐶 ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝐼)))
33		eleq2 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))
34		eleq2 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → (((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))
35	33, 34	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → ((((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶) ↔ (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
36	32, 35	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (Base‘𝐼) → ((𝑥 ⊆ 𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
37	31, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ((𝑥 ⊆ 𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
38	30, 37	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
39	38	alrimiv 1934	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
40		isclatBAD.	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
41	3, 39, 40	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092  ∀wal 1545   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  ∪ cuni 4839  ∩ cint 4878  ‘cfv 6486  Basecbs 17171  Moorecmre 17536  mrClscmrc 17537  Posetcpo 18265  lubclub 18267  glbcglb 18268  CLatccla 18456  toInccipo 18485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ocomp 17233  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-odu 18245  df-proset 18252  df-poset 18271  df-lub 18302  df-glb 18303  df-ipo 18486

This theorem is referenced by: (None)