MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreclatBAD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreclatBAD 18620
Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) TODO (df-riota 7387 update): Reprove using isclat 18557 instead of the isclatBAD. hypothesis. See commented-out mreclat above. See mreclat 48785 for a good version.
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
isclatBAD. (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
Assertion
Ref Expression
mreclatBAD (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mreclatBAD
StepHypRef Expression
1 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
21ipopos 18593 . . 3 𝐼 ∈ Poset
32a1i 11 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
4 eqid 2734 . . . . . . . 8 (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
5 eqid 2734 . . . . . . . 8 (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼)
61, 4, 5mrelatlub 18619 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((lub‘𝐼)‘𝑥) = ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥))
7 uniss 4919 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐶 𝑥 𝐶)
87adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 𝐶)
9 mreuni 17644 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = 𝑋)
109adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐶 = 𝑋)
118, 10sseqtrd 4035 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝑋)
124mrccl 17655 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥) ∈ 𝐶)
1311, 12syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥) ∈ 𝐶)
146, 13eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
15 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ((glb‘𝐼)‘∅))
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = ((glb‘𝐼)‘∅))
17 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼)
181, 17mrelatglb0 18618 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ((glb‘𝐼)‘∅) = 𝑋)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘∅) = 𝑋)
2016, 19eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = 𝑋)
21 mre1cl 17638 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)
2221ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑋𝐶)
2320, 22eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
241, 17mrelatglb 18617 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) = 𝑥)
25 mreintcl 17639 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐶)
2624, 25eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
27263expa 1117 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
2823, 27pm2.61dane 3026 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)
2914, 28jca 511 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3029ex 412 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)))
311ipobas 18588 . . . . 5 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
32 sseq2 4021 . . . . . 6 (𝐶 = (Base‘𝐼) → (𝑥𝐶𝑥 ⊆ (Base‘𝐼)))
33 eleq2 2827 . . . . . . 7 (𝐶 = (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))
34 eleq2 2827 . . . . . . 7 (𝐶 = (Base‘𝐼) → (((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))
3533, 34anbi12d 632 . . . . . 6 (𝐶 = (Base‘𝐼) → ((((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶) ↔ (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
3632, 35imbi12d 344 . . . . 5 (𝐶 = (Base‘𝐼) → ((𝑥𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
3731, 36syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ((𝑥𝐶 → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
3830, 37mpbid 232 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
3938alrimiv 1924 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼))))
40 isclatBAD. . 2 (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊆ (Base‘𝐼) → (((lub‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼) ∧ ((glb‘𝐼)‘𝑥) ∈ (Base‘𝐼)))))
413, 39, 40sylanbrc 583 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wal 1534   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wss 3962  c0 4338   cuni 4911   cint 4950  cfv 6562  Basecbs 17244  Moorecmre 17626  mrClscmrc 17627  Posetcpo 18364  lubclub 18366  glbcglb 18367  CLatccla 18555  toInccipo 18584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-odu 18343  df-proset 18351  df-poset 18370  df-lub 18403  df-glb 18404  df-ipo 18585
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator