MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreclatBAD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreclatBAD 18520
Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) TODO (df-riota 7367 update): Reprove using isclat 18457 instead of the isclatBAD. hypothesis. See commented-out mreclat above. See mreclat 47709 for a good version.
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
isclatBAD. (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΌ) β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))))
Assertion
Ref Expression
mreclatBAD (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐼 ∈ CLat)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem mreclatBAD
StepHypRef Expression
1 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
21ipopos 18493 . . 3 𝐼 ∈ Poset
32a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐼 ∈ Poset)
4 eqid 2730 . . . . . . . 8 (mrClsβ€˜πΆ) = (mrClsβ€˜πΆ)
5 eqid 2730 . . . . . . . 8 (lubβ€˜πΌ) = (lubβ€˜πΌ)
61, 4, 5mrelatlub 18519 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) β†’ ((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ π‘₯))
7 uniss 4915 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βŠ† 𝐢 β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐢)
87adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐢)
9 mreuni 17548 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ 𝐢 = 𝑋)
109adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐢 = 𝑋)
118, 10sseqtrd 4021 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋)
124mrccl 17559 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐢)
1311, 12syldan 589 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐢)
146, 13eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) β†’ ((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
15 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = ((glbβ€˜πΌ)β€˜βˆ…))
1615adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = ((glbβ€˜πΌ)β€˜βˆ…))
17 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (glbβ€˜πΌ) = (glbβ€˜πΌ)
181, 17mrelatglb0 18518 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜βˆ…) = 𝑋)
1918ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜βˆ…) = 𝑋)
2016, 19eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = 𝑋)
21 mre1cl 17542 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
2221ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
2320, 22eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
241, 17mrelatglb 18517 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) = ∩ π‘₯)
25 mreintcl 17543 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝐢)
2624, 25eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
27263expa 1116 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
2823, 27pm2.61dane 3027 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) β†’ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
2914, 28jca 510 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐢) β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢))
3029ex 411 . . . 4 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐢 β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)))
311ipobas 18488 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 = (Baseβ€˜πΌ))
32 sseq2 4007 . . . . . 6 (𝐢 = (Baseβ€˜πΌ) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐢 ↔ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΌ)))
33 eleq2 2820 . . . . . . 7 (𝐢 = (Baseβ€˜πΌ) β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 ↔ ((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
34 eleq2 2820 . . . . . . 7 (𝐢 = (Baseβ€˜πΌ) β†’ (((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 ↔ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
3533, 34anbi12d 629 . . . . . 6 (𝐢 = (Baseβ€˜πΌ) β†’ ((((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) ↔ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ))))
3632, 35imbi12d 343 . . . . 5 (𝐢 = (Baseβ€˜πΌ) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐢 β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΌ) β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))))
3731, 36syl 17 . . . 4 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐢 β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢 ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΌ) β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))))
3830, 37mpbid 231 . . 3 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΌ) β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ))))
3938alrimiv 1928 . 2 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΌ) β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ))))
40 isclatBAD. . 2 (𝐼 ∈ CLat ↔ (𝐼 ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΌ) β†’ (((lubβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ ((glbβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))))
413, 39, 40sylanbrc 581 1 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐼 ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  Moorecmre 17530  mrClscmrc 17531  Posetcpo 18264  lubclub 18266  glbcglb 18267  CLatccla 18455  toInccipo 18484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ocomp 17222  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-odu 18244  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-ipo 18485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator