Theorem mreincl 17629

Description: Two closed sets have a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreincl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4941	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	3adant1 1144	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
3		simp1 1150	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
4		prssi 4781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
5	4	3adant1 1144	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
6		prnzg 4739	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
7	6	3ad2ant2 1148	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
8		mreintcl 17625	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1392	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
10	2, 9	eqeltrrd 2865	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {cpr 4586  ∩ cint 4907  ‘cfv 6523  Moorecmre 17612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fv 6531  df-mre 17616

This theorem is referenced by:  submacs  18863  subgacs  19204  nsgacs  19205  lsmmod  19717  subrgacs  20851  sdrgacs  20852  lssacs  21036  mreclatdemoBAD  23158  lidlincl  33618