MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreincl 17612
Description: Two closed sets have a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreincl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreincl
StepHypRef Expression
1 intprg 4989 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
213adant1 1127 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3 simp1 1133 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
4 prssi 4830 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
543adant1 1127 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
6 prnzg 4787 . . . 4 (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
763ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
8 mreintcl 17608 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
93, 5, 7, 8syl3anc 1368 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
102, 9eqeltrrd 2827 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cin 3946  wss 3947  c0 4325  {cpr 4635   cint 4954  cfv 6554  Moorecmre 17595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fv 6562  df-mre 17599
This theorem is referenced by:  submacs  18817  subgacs  19155  nsgacs  19156  lsmmod  19673  subrgacs  20779  sdrgacs  20780  lssacs  20944  mreclatdemoBAD  23091  lidlincl  33305
  Copyright terms: Public domain W3C validator