Theorem mreincl 17503

Description: Two closed sets have a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreincl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4931	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
3		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
4		prssi 4772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
5	4	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
6		prnzg 4730	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
7	6	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
8		mreintcl 17499	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
10	2, 9	eqeltrrd 2834	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {cpr 4577  ∩ cint 4897  ‘cfv 6486  Moorecmre 17486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-mre 17490

This theorem is referenced by:  submacs  18737  subgacs  19075  nsgacs  19076  lsmmod  19589  subrgacs  20717  sdrgacs  20718  lssacs  20902  mreclatdemoBAD  23012  lidlincl  33402