MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreincl 17319
Description: Two closed sets have a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreincl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreincl
StepHypRef Expression
1 intprg 4918 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
213adant1 1129 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3 simp1 1135 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
4 prssi 4760 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
543adant1 1129 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
6 prnzg 4720 . . . 4 (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
763ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
8 mreintcl 17315 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
93, 5, 7, 8syl3anc 1370 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
102, 9eqeltrrd 2842 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  cin 3891  wss 3892  c0 4262  {cpr 4569   cint 4885  cfv 6432  Moorecmre 17302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fv 6440  df-mre 17306
This theorem is referenced by:  submacs  18476  subgacs  18800  nsgacs  18801  lsmmod  19292  subrgacs  20079  sdrgacs  20080  lssacs  20240  mreclatdemoBAD  22258  lidlincl  31616
  Copyright terms: Public domain W3C validator