Theorem mreincl 17501

Description: Two closed sets have a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreincl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4929	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
3		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
4		prssi 4770	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
5	4	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
6		prnzg 4728	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
7	6	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
8		mreintcl 17497	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
10	2, 9	eqeltrrd 2832	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  {cpr 4575  ∩ cint 4895  ‘cfv 6481  Moorecmre 17484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-mre 17488

This theorem is referenced by:  submacs  18735  subgacs  19073  nsgacs  19074  lsmmod  19587  subrgacs  20715  sdrgacs  20716  lssacs  20900  mreclatdemoBAD  23011  lidlincl  33395