MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatlub 18553
Description: Least upper bounds in a Moore space are realized by the closure of the union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) See mrelatlubALT 48118 for an alternate proof.
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
mrelatlub.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
mrelatlub.l 𝐿 = (lubβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
mrelatlub ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ (πΏβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))

Proof of Theorem mrelatlub
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜πΌ)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
32ipobas 18522 . . 3 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 = (Baseβ€˜πΌ))
43adantr 479 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ 𝐢 = (Baseβ€˜πΌ))
5 mrelatlub.l . . 3 𝐿 = (lubβ€˜πΌ)
65a1i 11 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ 𝐿 = (lubβ€˜πΌ))
72ipopos 18527 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ 𝐼 ∈ Poset)
9 simpr 483 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐢)
10 uniss 4911 . . . . 5 (π‘ˆ βŠ† 𝐢 β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐢)
1110adantl 480 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐢)
12 mreuni 17579 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ 𝐢 = 𝑋)
1312adantr 479 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐢 = 𝑋)
1411, 13sseqtrd 4013 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑋)
15 mrelatlub.f . . . 4 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
1615mrccl 17590 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢)
1714, 16syldan 589 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢)
18 elssuni 4935 . . . 4 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
1915mrcssid 17596 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
2014, 19syldan 589 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
2118, 20sylan9ssr 3987 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
22 simpll 765 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
239sselda 3972 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
2417adantr 479 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢)
252, 1ipole 18525 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)(πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ↔ π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)(πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ↔ π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)))
2721, 26mpbird 256 . 2 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯(leβ€˜πΌ)(πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
28 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
29 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
30 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐢)
3130sselda 3972 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
32 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
332, 1ipole 18525 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑦))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑦))
3534biimpd 228 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑦))
3635ralimdva 3157 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯ βŠ† 𝑦))
37363impia 1114 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯ βŠ† 𝑦)
38 unissb 4937 . . . . 5 (βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯ βŠ† 𝑦)
3937, 38sylibr 233 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑦)
40 simp2 1134 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
4115mrcsscl 17599 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑦)
4228, 39, 40, 41syl3anc 1368 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑦)
43173ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢)
442, 1ipole 18525 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)(leβ€˜πΌ)𝑦 ↔ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑦))
4528, 43, 40, 44syl3anc 1368 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ ((πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)(leβ€˜πΌ)𝑦 ↔ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑦))
4642, 45mpbird 256 . 2 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)(leβ€˜πΌ)𝑦)
471, 4, 6, 8, 9, 17, 27, 46poslubdg 18405 1 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ (πΏβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3939  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  lecple 17239  Moorecmre 17561  mrClscmrc 17562  Posetcpo 18298  lubclub 18300  toInccipo 18518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ocomp 17253  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-proset 18286  df-poset 18304  df-lub 18337  df-ipo 18519
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  18554
  Copyright terms: Public domain W3C validator