MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatlub 17546
Description: Least upper bounds in a Moore space are realized by the closure of the union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatlub.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
mrelatlub.l 𝐿 = (lub‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrelatlub ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))

Proof of Theorem mrelatlub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
32ipobas 17515 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
43adantr 474 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5 mrelatlub.l . . 3 𝐿 = (lub‘𝐼)
65a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐿 = (lub‘𝐼))
72ipopos 17520 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐼 ∈ Poset)
9 simpr 479 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝐶)
10 uniss 4683 . . . . 5 (𝑈𝐶 𝑈 𝐶)
1110adantl 475 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 𝐶)
12 mreuni 16620 . . . . 5 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = 𝑋)
1312adantr 474 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = 𝑋)
1411, 13sseqtrd 3866 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝑋)
15 mrelatlub.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1615mrccl 16631 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
1714, 16syldan 585 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
18 elssuni 4691 . . . 4 (𝑥𝑈𝑥 𝑈)
1915mrcssid 16637 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2014, 19syldan 585 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2118, 20sylan9ssr 3841 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈))
22 simpll 783 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
239sselda 3827 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
2417adantr 474 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
252, 1ipole 17518 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶 ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1494 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2721, 26mpbird 249 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈))
28 simp1l 1258 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
29 simplll 791 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
30 simplr 785 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈𝐶)
3130sselda 3827 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
32 simplr 785 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦𝐶)
332, 1ipole 17518 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1494 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3534biimpd 221 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3635ralimdva 3171 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → (∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦 → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦))
37363impia 1149 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
38 unissb 4693 . . . . 5 ( 𝑈𝑦 ↔ ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
3937, 38sylibr 226 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑈𝑦)
40 simp2 1171 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑦𝐶)
4115mrcsscl 16640 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑦𝑦𝐶) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
4228, 39, 40, 41syl3anc 1494 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
43173ad2ant1 1167 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
442, 1ipole 17518 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶𝑦𝐶) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4528, 43, 40, 44syl3anc 1494 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4642, 45mpbird 249 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦)
471, 4, 6, 8, 9, 17, 27, 46poslubdg 17509 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  wss 3798   cuni 4660   class class class wbr 4875  cfv 6127  Basecbs 16229  lecple 16319  Moorecmre 16602  mrClscmrc 16603  Posetcpo 17300  lubclub 17302  toInccipo 17511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ocomp 16333  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-proset 17288  df-poset 17306  df-lub 17334  df-ipo 17512
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17547
  Copyright terms: Public domain W3C validator