Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatlub 17788
 Description: Least upper bounds in a Moore space are realized by the closure of the union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatlub.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
mrelatlub.l 𝐿 = (lub‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrelatlub ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))

Proof of Theorem mrelatlub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
32ipobas 17757 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
43adantr 483 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5 mrelatlub.l . . 3 𝐿 = (lub‘𝐼)
65a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐿 = (lub‘𝐼))
72ipopos 17762 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐼 ∈ Poset)
9 simpr 487 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝐶)
10 uniss 4851 . . . . 5 (𝑈𝐶 𝑈 𝐶)
1110adantl 484 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 𝐶)
12 mreuni 16863 . . . . 5 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = 𝑋)
1312adantr 483 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = 𝑋)
1411, 13sseqtrd 4005 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝑋)
15 mrelatlub.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1615mrccl 16874 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
1714, 16syldan 593 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
18 elssuni 4859 . . . 4 (𝑥𝑈𝑥 𝑈)
1915mrcssid 16880 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2014, 19syldan 593 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2118, 20sylan9ssr 3979 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈))
22 simpll 765 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
239sselda 3965 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
2417adantr 483 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
252, 1ipole 17760 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶 ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1365 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2721, 26mpbird 259 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈))
28 simp1l 1191 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
29 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
30 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈𝐶)
3130sselda 3965 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
32 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦𝐶)
332, 1ipole 17760 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3534biimpd 231 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3635ralimdva 3175 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → (∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦 → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦))
37363impia 1111 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
38 unissb 4861 . . . . 5 ( 𝑈𝑦 ↔ ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
3937, 38sylibr 236 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑈𝑦)
40 simp2 1131 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑦𝐶)
4115mrcsscl 16883 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑦𝑦𝐶) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
4228, 39, 40, 41syl3anc 1365 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
43173ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
442, 1ipole 17760 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶𝑦𝐶) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4528, 43, 40, 44syl3anc 1365 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4642, 45mpbird 259 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦)
471, 4, 6, 8, 9, 17, 27, 46poslubdg 17751 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136   ⊆ wss 3934  ∪ cuni 4830   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  Basecbs 16475  lecple 16564  Moorecmre 16845  mrClscmrc 16846  Posetcpo 17542  lubclub 17544  toInccipo 17753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ocomp 16578  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-proset 17530  df-poset 17548  df-lub 17576  df-ipo 17754 This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17789
 Copyright terms: Public domain W3C validator