MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatlub 18527
Description: Least upper bounds in a Moore space are realized by the closure of the union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) See mrelatlubALT 47894 for an alternate proof.
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
mrelatlub.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
mrelatlub.l 𝐿 = (lubβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
mrelatlub ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ (πΏβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))

Proof of Theorem mrelatlub
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜πΌ)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
32ipobas 18496 . . 3 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 = (Baseβ€˜πΌ))
43adantr 480 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ 𝐢 = (Baseβ€˜πΌ))
5 mrelatlub.l . . 3 𝐿 = (lubβ€˜πΌ)
65a1i 11 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ 𝐿 = (lubβ€˜πΌ))
72ipopos 18501 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ 𝐼 ∈ Poset)
9 simpr 484 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐢)
10 uniss 4910 . . . . 5 (π‘ˆ βŠ† 𝐢 β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐢)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐢)
12 mreuni 17553 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ 𝐢 = 𝑋)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐢 = 𝑋)
1411, 13sseqtrd 4017 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑋)
15 mrelatlub.f . . . 4 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
1615mrccl 17564 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢)
1714, 16syldan 590 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢)
18 elssuni 4934 . . . 4 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
1915mrcssid 17570 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
2014, 19syldan 590 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
2118, 20sylan9ssr 3991 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
22 simpll 764 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
239sselda 3977 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
2417adantr 480 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢)
252, 1ipole 18499 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)(πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ↔ π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)(πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ↔ π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)))
2721, 26mpbird 257 . 2 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯(leβ€˜πΌ)(πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
28 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
29 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
30 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐢)
3130sselda 3977 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
32 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
332, 1ipole 18499 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑦))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑦))
3534biimpd 228 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑦))
3635ralimdva 3161 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯ βŠ† 𝑦))
37363impia 1114 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯ βŠ† 𝑦)
38 unissb 4936 . . . . 5 (βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯ βŠ† 𝑦)
3937, 38sylibr 233 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑦)
40 simp2 1134 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
4115mrcsscl 17573 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ π‘ˆ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑦)
4228, 39, 40, 41syl3anc 1368 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑦)
43173ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢)
442, 1ipole 18499 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)(leβ€˜πΌ)𝑦 ↔ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑦))
4528, 43, 40, 44syl3anc 1368 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ ((πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)(leβ€˜πΌ)𝑦 ↔ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑦))
4642, 45mpbird 257 . 2 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ π‘₯(leβ€˜πΌ)𝑦) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ)(leβ€˜πΌ)𝑦)
471, 4, 6, 8, 9, 17, 27, 46poslubdg 18379 1 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢) β†’ (πΏβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜βˆͺ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  lecple 17213  Moorecmre 17535  mrClscmrc 17536  Posetcpo 18272  lubclub 18274  toInccipo 18492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ocomp 17227  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-proset 18260  df-poset 18278  df-lub 18311  df-ipo 18493
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  18528
  Copyright terms: Public domain W3C validator