Theorem mreclat 48086

Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mreclatGOOD.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mreclat	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem mreclat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreclatGOOD.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
2	1	ipobas 18530	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
3		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
5	1	ipopos 18535	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
7		mreuniss 47996	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
9	8	mrccl 17598	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
10	7, 9	syldan 589	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
11		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
12		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
13		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
14	8	mrcval 17597	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
15	7, 14	syldan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
16	1, 11, 12, 13, 15	ipolubdm 48076	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶))
17	10, 16	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
18		ssv 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ V
19		int0 4969	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ∅ = V
20	18, 19	sseqtrri 4019	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ⊆ ∩ ∅
21		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑥 = ∅)
22	21	inteqd 4958	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∩ 𝑥 = ∩ ∅)
23	20, 22	sseqtrrid 4035	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥)
24	23	rabeqcda 3442	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = 𝐶)
25	24	unieqd 4925	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ 𝐶)
26		mreuni 17587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
27		mre1cl 17581	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
28	26, 27	eqeltrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
29	28	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
30	25, 29	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
31		mreintcl 17582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
32		unimax 4951	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
34	33, 31	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
35	34	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
36	30, 35	pm2.61dane 3026	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
37		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
38		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥})
39	1, 11, 12, 37, 38	ipoglbdm 48079	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶))
40	36, 39	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
41	2, 3, 4, 6, 17, 40	isclatd 48072	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  {crab 3430  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  ∪ cuni 4912  ∩ cint 4953  dom cdm 5682  ‘cfv 6553  Moorecmre 17569  mrClscmrc 17570  Posetcpo 18306  lubclub 18308  glbcglb 18309  CLatccla 18497  toInccipo 18526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ocomp 17261  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-proset 18294  df-poset 18312  df-lub 18345  df-glb 18346  df-clat 18498  df-ipo 18527

This theorem is referenced by: (None)