Theorem mreclat 49926

Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mreclatGOOD.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mreclat	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem mreclat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreclatGOOD.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
2	1	ipobas 18622	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
3		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
5	1	ipopos 18627	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
7		mreuniss 49829	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
9	8	mrccl 17702	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
10	7, 9	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
11		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
13		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
14	8	mrcval 17701	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
15	7, 14	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
16	1, 11, 12, 13, 15	ipolubdm 49916	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶))
17	10, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
18		ssv 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ V
19		int0 4922	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ∅ = V
20	18, 19	sseqtrri 3980	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ⊆ ∩ ∅
21		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑥 = ∅)
22	21	inteqd 4912	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∩ 𝑥 = ∩ ∅)
23	20, 22	sseqtrrid 3974	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥)
24	23	rabeqcda 3423	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = 𝐶)
25	24	unieqd 4880	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ 𝐶)
26		mreuni 17687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
27		mre1cl 17681	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
28	26, 27	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
29	28	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
30	25, 29	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
31		mreintcl 17682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
32		unimax 4905	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
33	31, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
34	33, 31	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
35	34	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
36	30, 35	pm2.61dane 3042	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
37		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
38		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥})
39	1, 11, 12, 37, 38	ipoglbdm 49919	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶))
40	36, 39	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
41	2, 3, 4, 6, 17, 40	isclatd 49912	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  ∩ cint 4907  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  Moorecmre 17669  mrClscmrc 17670  Posetcpo 18398  lubclub 18400  glbcglb 18401  CLatccla 18589  toInccipo 18618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ocomp 17366  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-proset 18385  df-poset 18404  df-lub 18435  df-glb 18436  df-clat 18590  df-ipo 18619

This theorem is used by: (None)