Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mreclat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreclat 47012
Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
mreclatGOOD.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mreclat (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem mreclat
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreclatGOOD.i . . 3 𝐼 = (toInc‘𝐶)
21ipobas 18420 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
3 eqidd 2737 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4 eqidd 2737 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
51ipopos 18425 . . 3 𝐼 ∈ Poset
65a1i 11 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
7 mreuniss 46922 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝑋)
8 eqid 2736 . . . . 5 (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
98mrccl 17491 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥) ∈ 𝐶)
107, 9syldan 591 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥) ∈ 𝐶)
11 simpl 483 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
12 simpr 485 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
13 eqidd 2737 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
148mrcval 17490 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥) = {𝑦𝐶 𝑥𝑦})
157, 14syldan 591 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥) = {𝑦𝐶 𝑥𝑦})
161, 11, 12, 13, 15ipolubdm 47002 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑥) ∈ 𝐶))
1710, 16mpbird 256 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
18 ssv 3968 . . . . . . . . 9 𝑦 ⊆ V
19 int0 4923 . . . . . . . . 9 ∅ = V
2018, 19sseqtrri 3981 . . . . . . . 8 𝑦
21 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑥 = ∅)
2221inteqd 4912 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑥 = ∅)
2320, 22sseqtrrid 3997 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 𝑥)
2423rabeqcda 3418 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → {𝑦𝐶𝑦 𝑥} = 𝐶)
2524unieqd 4879 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → {𝑦𝐶𝑦 𝑥} = 𝐶)
26 mreuni 17480 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = 𝑋)
27 mre1cl 17474 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)
2826, 27eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶𝐶)
2928ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝐶𝐶)
3025, 29eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → {𝑦𝐶𝑦 𝑥} ∈ 𝐶)
31 mreintcl 17475 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐶)
32 unimax 4905 . . . . . . 7 ( 𝑥𝐶 {𝑦𝐶𝑦 𝑥} = 𝑥)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → {𝑦𝐶𝑦 𝑥} = 𝑥)
3433, 31eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → {𝑦𝐶𝑦 𝑥} ∈ 𝐶)
35343expa 1118 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → {𝑦𝐶𝑦 𝑥} ∈ 𝐶)
3630, 35pm2.61dane 3032 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → {𝑦𝐶𝑦 𝑥} ∈ 𝐶)
37 eqidd 2737 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
38 eqidd 2737 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → {𝑦𝐶𝑦 𝑥} = {𝑦𝐶𝑦 𝑥})
391, 11, 12, 37, 38ipoglbdm 47005 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ {𝑦𝐶𝑦 𝑥} ∈ 𝐶))
4036, 39mpbird 256 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
412, 3, 4, 6, 17, 40isclatd 46998 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   cuni 4865   cint 4907  dom cdm 5633  cfv 6496  Moorecmre 17462  mrClscmrc 17463  Posetcpo 18196  lubclub 18198  glbcglb 18199  CLatccla 18387  toInccipo 18416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ocomp 17154  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-proset 18184  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-clat 18388  df-ipo 18417
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator