Theorem mreclat 49495

Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mreclatGOOD.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mreclat	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem mreclat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreclatGOOD.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
2	1	ipobas 18489	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
3		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
5	1	ipopos 18494	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
7		mreuniss 49398	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
9	8	mrccl 17569	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
10	7, 9	syldan 597	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
11		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
12		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
13		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
14	8	mrcval 17568	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
15	7, 14	syldan 597	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
16	1, 11, 12, 13, 15	ipolubdm 49485	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶))
17	10, 16	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
18		ssv 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ V
19		int0 4893	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ∅ = V
20	18, 19	sseqtrri 3964	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ⊆ ∩ ∅
21		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑥 = ∅)
22	21	inteqd 4883	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∩ 𝑥 = ∩ ∅)
23	20, 22	sseqtrrid 3958	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥)
24	23	rabeqcda 3402	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = 𝐶)
25	24	unieqd 4852	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ 𝐶)
26		mreuni 17554	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
27		mre1cl 17548	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
28	26, 27	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
29	28	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
30	25, 29	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
31		mreintcl 17549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
32		unimax 4876	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
34	33, 31	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
35	34	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
36	30, 35	pm2.61dane 3021	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
37		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
38		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥})
39	1, 11, 12, 37, 38	ipoglbdm 49488	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶))
40	36, 39	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
41	2, 3, 4, 6, 17, 40	isclatd 49481	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  ∪ cuni 4839  ∩ cint 4878  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  Moorecmre 17536  mrClscmrc 17537  Posetcpo 18265  lubclub 18267  glbcglb 18268  CLatccla 18456  toInccipo 18485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ocomp 17233  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-proset 18252  df-poset 18271  df-lub 18302  df-glb 18303  df-clat 18457  df-ipo 18486

This theorem is referenced by: (None)