Theorem mreclat 46252

Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mreclatGOOD.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mreclat	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem mreclat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreclatGOOD.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
2	1	ipobas 18247	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
3		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
5	1	ipopos 18252	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
7		mreuniss 46162	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
9	8	mrccl 17318	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
10	7, 9	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
11		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
12		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
13		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
14	8	mrcval 17317	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
15	7, 14	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
16	1, 11, 12, 13, 15	ipolubdm 46242	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶))
17	10, 16	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
18		ssv 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ V
19		int0 4899	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ∅ = V
20	18, 19	sseqtrri 3963	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ⊆ ∩ ∅
21		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑥 = ∅)
22	21	inteqd 4890	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∩ 𝑥 = ∩ ∅)
23	20, 22	sseqtrrid 3979	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥)
24	23	rabeqcda 3428	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = 𝐶)
25	24	unieqd 4859	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ 𝐶)
26		mreuni 17307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
27		mre1cl 17301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
28	26, 27	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
29	28	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
30	25, 29	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
31		mreintcl 17302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
32		unimax 4883	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
34	33, 31	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
35	34	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
36	30, 35	pm2.61dane 3034	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
37		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
38		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥})
39	1, 11, 12, 37, 38	ipoglbdm 46245	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶))
40	36, 39	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
41	2, 3, 4, 6, 17, 40	isclatd 46238	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  {crab 3070  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  ∪ cuni 4845  ∩ cint 4885  dom cdm 5590  ‘cfv 6432  Moorecmre 17289  mrClscmrc 17290  Posetcpo 18023  lubclub 18025  glbcglb 18026  CLatccla 18214  toInccipo 18243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ocomp 16981  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-proset 18011  df-poset 18029  df-lub 18062  df-glb 18063  df-clat 18215  df-ipo 18244

This theorem is referenced by: (None)