Theorem mreclat 46171

Description: A Moore space is a complete lattice under inclusion. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mreclatGOOD.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mreclat	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Proof of Theorem mreclat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreclatGOOD.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
2	1	ipobas 18164	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
3		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
4		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
5	1	ipopos 18169	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
7		mreuniss 46081	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
9	8	mrccl 17237	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
10	7, 9	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶)
11		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
13		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (lub‘𝐼) = (lub‘𝐼))
14	8	mrcval 17236	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
15	7, 14	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) = ∩ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑦})
16	1, 11, 12, 13, 15	ipolubdm 46161	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼) ↔ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑥) ∈ 𝐶))
17	10, 16	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (lub‘𝐼))
18		ssv 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ V
19		int0 4890	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ∅ = V
20	18, 19	sseqtrri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ⊆ ∩ ∅
21		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑥 = ∅)
22	21	inteqd 4881	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∩ 𝑥 = ∩ ∅)
23	20, 22	sseqtrrid 3970	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥)
24	23	rabeqcda 3419	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = 𝐶)
25	24	unieqd 4850	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ 𝐶)
26		mreuni 17226	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 = 𝑋)
27		mre1cl 17220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
28	26, 27	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
29	28	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ 𝐶 ∈ 𝐶)
30	25, 29	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
31		mreintcl 17221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
32		unimax 4874	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∩ 𝑥)
34	33, 31	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
35	34	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
36	30, 35	pm2.61dane 3031	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶)
37		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (glb‘𝐼) = (glb‘𝐼))
38		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} = ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥})
39	1, 11, 12, 37, 38	ipoglbdm 46164	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼) ↔ ∪ {𝑦 ∈ 𝐶 ∣ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑥} ∈ 𝐶))
40	36, 39	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) → 𝑥 ∈ dom (glb‘𝐼))
41	2, 3, 4, 6, 17, 40	isclatd 46157	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ CLat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∪ cuni 4836  ∩ cint 4876  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  Moorecmre 17208  mrClscmrc 17209  Posetcpo 17940  lubclub 17942  glbcglb 17943  CLatccla 18131  toInccipo 18160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ocomp 16909  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-proset 17928  df-poset 17946  df-lub 17979  df-glb 17980  df-clat 18132  df-ipo 18161

This theorem is referenced by: (None)