Theorem mrieqv2d 17560

Description: In a Moore system, a set is independent if and only if all its proper subsets have closure properly contained in the closure of the set. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrieqvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrieqvd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrieqvd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrieqvd.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrieqv2d	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝜑,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem mrieqv2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝑆 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠))
2	1	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠))
3		mrieqvd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
6		mrieqvd.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
7		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)
8		difsnb 4760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑠 ↔ (𝑠 ∖ {𝑥}) = 𝑠)
9	7, 8	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → (𝑠 ∖ {𝑥}) = 𝑠)
10		simpl3 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝑠 ⊊ 𝑆)
11	10	pssssd 4050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝑠 ⊆ 𝑆)
12	11	ssdifd 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
13	9, 12	eqsstrrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝑠 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
14		mrieqvd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
15		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝑆 ∈ 𝐼)
16	14, 5, 15	mrissd 17557	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
17	16	ssdifssd 4097	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
18	5, 6, 13, 17	mrcssd 17545	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → (𝑁‘𝑠) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
19		difssd 4087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
20	5, 6, 19, 16	mrcssd 17545	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘𝑆))
21	5, 6, 16	mrcssidd 17546	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
22		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
23	21, 22	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆))
24	6, 14, 5, 15, 22	ismri2dad 17558	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
25	20, 23, 24	ssnelpssd 4065	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ⊊ (𝑁‘𝑆))
26	18, 25	sspsstrd 4061	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑠)) → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))
27	2, 26	exlimddv 1936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑆) → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))
28	27	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)))
29	28	alrimiv 1928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)))
30	29	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))))
31	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32	31	elfvexd 6868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ V)
33		mrieqvd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
35	32, 34	ssexd 5267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
36	35	difexd 5274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
38		difsnpss 4761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝑆)
39	37, 38	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝑆)
40		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}))
41	40	psseq1d 4045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → (𝑠 ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝑆))
42	39, 41	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → 𝑠 ⊊ 𝑆)
43		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)))
44	42, 43	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))
45	40	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → (𝑁‘𝑠) = (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
46	45	psseq1d 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → ((𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆) ↔ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ⊊ (𝑁‘𝑆)))
47	44, 46	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ (𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ⊊ (𝑁‘𝑆))
48	47	3expia 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑥})) → ((𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) → (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ⊊ (𝑁‘𝑆)))
49	36, 48	spcimdv 3545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) → (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ⊊ (𝑁‘𝑆)))
50	49	3impia 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ⊊ (𝑁‘𝑆))
51	50	pssned 4051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ≠ (𝑁‘𝑆))
52	51	3com23 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ≠ (𝑁‘𝑆))
53	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
54	33	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
55		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
56	53, 6, 54, 55	mrieqvlemd 17550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘𝑆)))
57	56	necon3bbid 2967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ≠ (𝑁‘𝑆)))
58	52, 57	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
59	58	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → (𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
60	59	ralrimiv 3125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
61	60	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
62	6, 14, 3, 33	ismri2d 17554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
63	61, 62	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐼))
64	30, 63	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑆 → (𝑁‘𝑠) ⊊ (𝑁‘𝑆))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  {csn 4578  ‘cfv 6490  Moorecmre 17499  mrClscmrc 17500  mrIndcmri 17501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-mri 17505

This theorem is referenced by:  mrissmrcd  17561