Theorem acsinfdimd 18286

Description: In an algebraic closure system, if two independent sets have equal closure and one is infinite, then they are equinumerous. This is proven by using acsdomd 18285 twice with acsinfd 18284. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsinfdimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsinfdimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsinfdimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsinfdimd.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsinfdimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
acsinfdimd.6	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
acsinfdimd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
acsinfdimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Proof of Theorem acsinfdimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsinfdimd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsinfdimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsinfdimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		acsinfdimd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
5	1	acsmred 17375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
6		acsinfdimd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
7	3, 5, 6	mrissd 17355	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
8		acsinfdimd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
9		acsinfdimd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
10	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9	acsdomd 18285	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)
11	3, 5, 4	mrissd 17355	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
12	8	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑇) = (𝑁‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9	acsinfd 18284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
14	1, 2, 3, 6, 11, 12, 13	acsdomd 18285	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≼ 𝑆)
15		sbth 8867	. 2 ⊢ ((𝑆 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≼ 𝑆) → 𝑆 ≈ 𝑇)
16	10, 14, 15	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5073  ‘cfv 6426   ≈ cen 8717   ≼ cdom 8718  Fincfn 8720  mrClscmrc 17302  mrIndcmri 17303  ACScacs 17304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-reg 9338  ax-inf2 9386  ax-ac2 10229  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-oi 9256  df-r1 9532  df-rank 9533  df-card 9707  df-acn 9710  df-ac 9882  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ocomp 16993  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-mri 17307  df-acs 17308  df-proset 18023  df-drs 18024  df-poset 18041  df-ipo 18256

This theorem is referenced by:  acsexdimd  18287