Theorem acsinfdimd 18591

Description: In an algebraic closure system, if two independent sets have equal closure and one is infinite, then they are equinumerous. This is proven by using acsdomd 18590 twice with acsinfd 18589. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsinfdimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsinfdimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsinfdimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsinfdimd.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsinfdimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
acsinfdimd.6	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
acsinfdimd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
acsinfdimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Proof of Theorem acsinfdimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsinfdimd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsinfdimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsinfdimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		acsinfdimd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
5	1	acsmred 17689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
6		acsinfdimd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
7	3, 5, 6	mrissd 17669	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
8		acsinfdimd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
9		acsinfdimd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
10	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9	acsdomd 18590	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)
11	3, 5, 4	mrissd 17669	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
12	8	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑇) = (𝑁‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9	acsinfd 18589	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
14	1, 2, 3, 6, 11, 12, 13	acsdomd 18590	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≼ 𝑆)
15		sbth 9070	. 2 ⊢ ((𝑆 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≼ 𝑆) → 𝑆 ≈ 𝑇)
16	10, 14, 15	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522   ≈ cen 8925   ≼ cdom 8926  Fincfn 8928  mrClscmrc 17612  mrIndcmri 17613  ACScacs 17614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-reg 9541  ax-inf2 9597  ax-ac2 10421  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-oi 9459  df-r1 9723  df-rank 9724  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10073  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ocomp 17308  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-mri 17617  df-acs 17618  df-proset 18327  df-drs 18328  df-poset 18346  df-ipo 18561

This theorem is referenced by:  acsexdimd  18592