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Theorem mreexmrid 17583
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if a set is independent and an element is not in its closure, then adding the element to the set gives another independent set. Lemma 4.1.5 in [FaureFrolicher] p. 84. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexmrid.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
mreexmrid.2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
mreexmrid.3 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
mreexmrid.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
mreexmrid.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐼)
mreexmrid.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
mreexmrid.7 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
mreexmrid (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) ∈ 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦   𝑆,𝑠,𝑧,𝑦   πœ‘,𝑠,𝑦,𝑧   π‘Œ,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑋(𝑧)
Proof of Theorem mreexmrid
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexmrid.2 . 2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
2 mreexmrid.3 . 2 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
3 mreexmrid.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
4 mreexmrid.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐼)
52, 3, 4mrissd 17576 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
6 mreexmrid.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
76snssd 4811 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑋)
85, 7unssd 4185 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βŠ† 𝑋)
933ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
109elfvexd 6927 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑋 ∈ V)
11 mreexmrid.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
12113ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
1343ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐼)
142, 9, 13mrissd 17576 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
1514ssdifssd 4141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
1663ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
17 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})))
18 difundir 4279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}) = ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ ({π‘Œ} βˆ– {π‘₯}))
19 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
203, 1, 5mrcssidd 17565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
21 mreexmrid.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜π‘†))
2220, 21ssneldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑆)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑆)
24 nelneq 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ Β¬ π‘₯ = π‘Œ)
2519, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ Β¬ π‘₯ = π‘Œ)
26 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ {π‘Œ} β†’ π‘₯ = π‘Œ)
2725, 26nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {π‘Œ})
28 difsnb 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘₯ ∈ {π‘Œ} ↔ ({π‘Œ} βˆ– {π‘₯}) = {π‘Œ})
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ ({π‘Œ} βˆ– {π‘₯}) = {π‘Œ})
3029uneq2d 4162 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ ({π‘Œ} βˆ– {π‘₯})) = ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘Œ}))
3118, 30eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}) = ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘Œ}))
3231fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘Œ})))
3317, 32eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘Œ})))
341, 2, 9, 13, 19ismri2dad 17577 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {π‘₯})))
3510, 12, 15, 16, 33, 34mreexd 17582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))
36213ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜π‘†))
37 undif1 4474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝑆 βˆͺ {π‘₯})
3819snssd 4811 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝑆)
39 ssequn2 4182 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘₯} βŠ† 𝑆 ↔ (𝑆 βˆͺ {π‘₯}) = 𝑆)
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑆 βˆͺ {π‘₯}) = 𝑆)
4137, 40eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝑆)
4241fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘β€˜((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = (π‘β€˜π‘†))
4336, 42neleqtrrd 2857 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))
4435, 43pm2.65i 193 . . . . . . 7 Β¬ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})))
45 df-3an 1090 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}))))
4644, 45mtbi 322 . . . . . 6 Β¬ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})))
4746imnani 402 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})))
4847adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})))
4926adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ π‘₯ = π‘Œ)
5021ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜π‘†))
5149, 50eqneltrd 2854 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
5249sneqd 4639 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ {π‘₯} = {π‘Œ})
5352difeq2d 4121 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ ((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}) = ((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘Œ}))
54 difun2 4479 . . . . . . . 8 ((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘Œ}) = (𝑆 βˆ– {π‘Œ})
5553, 54eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ ((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}) = (𝑆 βˆ– {π‘Œ}))
56 difsnb 4808 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘Œ ∈ 𝑆 ↔ (𝑆 βˆ– {π‘Œ}) = 𝑆)
5722, 56sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ– {π‘Œ}) = 𝑆)
5857ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘Œ}) = 𝑆)
5955, 58eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ ((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯}) = 𝑆)
6059fveq2d 6892 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜π‘†))
6151, 60neleqtrrd 2857 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Œ}) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})))
62 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ}))
63 elun 4147 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∨ π‘₯ ∈ {π‘Œ}))
6462, 63sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∨ π‘₯ ∈ {π‘Œ}))
6548, 61, 64mpjaodan 958 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ})) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})))
6665ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) βˆ– {π‘₯})))
671, 2, 3, 8, 66ismri2dd 17574 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {π‘Œ}) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  β€˜cfv 6540  Moorecmre 17522  mrClscmrc 17523  mrIndcmri 17524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-mri 17528
This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  17585
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