Theorem mrissmrid 16745

Description: In a Moore system, subsets of independent sets are independent. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrissmrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissmrid.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrissmrid.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissmrid.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mrissmrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mrissmrid	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem mrissmrid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrissmrid.2	. 2 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
2		mrissmrid.3	. 2 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3		mrissmrid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		mrissmrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
5		mrissmrid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	2, 3, 5	mrissd 16740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	4, 6	sstrd 3905	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
8	1, 2, 3, 6	ismri2d 16737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
9	5, 8	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
10	4	sseld 3894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑆))
11	4	ssdifd 4044	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
12	6	ssdifssd 4046	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
13	3, 1, 11, 12	mrcssd 16728	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
14	13	ssneld 3897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
15	10, 14	imim12d 81	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))))
16	15	ralimdv2 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
17	9, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))
18	1, 2, 3, 7, 17	ismri2dd 16738	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107   ∖ cdif 3862   ⊆ wss 3865  {csn 4478  ‘cfv 6232  Moorecmre 16686  mrClscmrc 16687  mrIndcmri 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-fv 6240  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-mri 16692

This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  16749  acsfiindd  17620