MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrissmrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrissmrid 17620
Description: In a Moore system, subsets of independent sets are independent. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrissmrid.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
mrissmrid.2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
mrissmrid.3 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
mrissmrid.4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐼)
mrissmrid.5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mrissmrid (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem mrissmrid
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrissmrid.2 . 2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
2 mrissmrid.3 . 2 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
3 mrissmrid.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
4 mrissmrid.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
5 mrissmrid.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐼)
62, 3, 5mrissd 17615 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
74, 6sstrd 3983 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
81, 2, 3, 6ismri2d 17612 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
95, 8mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {π‘₯})))
104sseld 3971 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
114ssdifd 4133 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
126ssdifssd 4135 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
133, 1, 11, 12mrcssd 17603 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {π‘₯})))
1413ssneld 3974 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑇 βˆ– {π‘₯}))))
1510, 14imim12d 81 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑇 βˆ– {π‘₯})))))
1615ralimdv2 3153 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑇 βˆ– {π‘₯}))))
179, 16mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑇 βˆ– {π‘₯})))
181, 2, 3, 7, 17ismri2dd 17613 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  {csn 4624  β€˜cfv 6543  Moorecmre 17561  mrClscmrc 17562  mrIndcmri 17563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-mri 17567
This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  17624  acsfiindd  18544
  Copyright terms: Public domain W3C validator