Theorem mrissmrid 17815

Description: In a Moore system, subsets of independent sets are independent. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrissmrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissmrid.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrissmrid.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissmrid.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mrissmrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mrissmrid	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem mrissmrid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrissmrid.2	. 2 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
2		mrissmrid.3	. 2 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3		mrissmrid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		mrissmrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
5		mrissmrid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	2, 3, 5	mrissd 17810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	4, 6	sstrd 3941	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
8	1, 2, 3, 6	ismri2d 17807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
9	5, 8	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
10	4	sseld 3930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑆))
11	4	ssdifd 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
12	6	ssdifssd 4094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
13	3, 1, 11, 12	mrcssd 17798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
14	13	ssneld 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
15	10, 14	imim12d 82	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))))
16	15	ralimdv2 3172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
17	9, 16	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))
18	1, 2, 3, 7, 17	ismri2dd 17808	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6538  Moorecmre 17752  mrClscmrc 17753  mrIndcmri 17754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-mri 17758

This theorem is used by:  mreexexlem2d  17819  acsfiindd  18727