MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrissmrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrissmrid 16570
Description: In a Moore system, subsets of independent sets are independent. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrissmrid.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissmrid.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrissmrid.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissmrid.4 (𝜑𝑆𝐼)
mrissmrid.5 (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
mrissmrid (𝜑𝑇𝐼)

Proof of Theorem mrissmrid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrissmrid.2 . 2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
2 mrissmrid.3 . 2 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3 mrissmrid.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 mrissmrid.5 . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
5 mrissmrid.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝐼)
62, 3, 5mrissd 16565 . . 3 (𝜑𝑆𝑋)
74, 6sstrd 3773 . 2 (𝜑𝑇𝑋)
81, 2, 3, 6ismri2d 16562 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
95, 8mpbid 223 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
104sseld 3762 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥𝑆))
114ssdifd 3910 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
126ssdifssd 3912 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
133, 1, 11, 12mrcssd 16553 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
1413ssneld 3765 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
1510, 14imim12d 81 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) → (𝑥𝑇 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))))
1615ralimdv2 3108 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ∀𝑥𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
179, 16mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))
181, 2, 3, 7, 17ismri2dd 16563 1 (𝜑𝑇𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cdif 3731  wss 3734  {csn 4336  cfv 6070  Moorecmre 16511  mrClscmrc 16512  mrIndcmri 16513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-fv 6078  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-mri 16517
This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  16574  acsfiindd  17446
  Copyright terms: Public domain W3C validator