Theorem mrissmrid 17607

Description: In a Moore system, subsets of independent sets are independent. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrissmrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissmrid.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrissmrid.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissmrid.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mrissmrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mrissmrid	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem mrissmrid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrissmrid.2	. 2 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
2		mrissmrid.3	. 2 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3		mrissmrid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		mrissmrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
5		mrissmrid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	2, 3, 5	mrissd 17602	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	4, 6	sstrd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
8	1, 2, 3, 6	ismri2d 17599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
9	5, 8	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
10	4	sseld 3920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑆))
11	4	ssdifd 4085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
12	6	ssdifssd 4087	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
13	3, 1, 11, 12	mrcssd 17590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
14	13	ssneld 3923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
15	10, 14	imim12d 81	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))))
16	15	ralimdv2 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
17	9, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))
18	1, 2, 3, 7, 17	ismri2dd 17600	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  Moorecmre 17544  mrClscmrc 17545  mrIndcmri 17546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-mri 17550

This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  17611  acsfiindd  18519