Theorem mrissmrid 16570

Description: In a Moore system, subsets of independent sets are independent. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrissmrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissmrid.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrissmrid.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissmrid.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mrissmrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mrissmrid	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem mrissmrid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrissmrid.2	. 2 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
2		mrissmrid.3	. 2 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3		mrissmrid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		mrissmrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
5		mrissmrid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	2, 3, 5	mrissd 16565	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	4, 6	sstrd 3773	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
8	1, 2, 3, 6	ismri2d 16562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
9	5, 8	mpbid 223	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
10	4	sseld 3762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑆))
11	4	ssdifd 3910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
12	6	ssdifssd 3912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
13	3, 1, 11, 12	mrcssd 16553	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
14	13	ssneld 3765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
15	10, 14	imim12d 81	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))))
16	15	ralimdv2 3108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
17	9, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))
18	1, 2, 3, 7, 17	ismri2dd 16563	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ∀wral 3055   ∖ cdif 3731   ⊆ wss 3734  {csn 4336  ‘cfv 6070  Moorecmre 16511  mrClscmrc 16512  mrIndcmri 16513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-fv 6078  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-mri 16517

This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  16574  acsfiindd  17446