MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexfidimd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexfidimd 17693
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 17692 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexfidimd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexfidimd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexfidimd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexfidimd.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexfidimd.5 (𝜑𝑆𝐼)
mreexfidimd.6 (𝜑𝑇𝐼)
mreexfidimd.7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
mreexfidimd.8 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
Assertion
Ref Expression
mreexfidimd (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexfidimd
StepHypRef Expression
1 mreexfidimd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mreexfidimd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 mreexfidimd.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 mreexfidimd.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5 mreexfidimd.5 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐼)
63, 1, 5mrissd 17679 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑋)
71, 2, 6mrcssidd 17668 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑆))
8 mreexfidimd.8 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
97, 8sseqtrd 4020 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
10 mreexfidimd.6 . . . 4 (𝜑𝑇𝐼)
113, 1, 10mrissd 17679 . . 3 (𝜑𝑇𝑋)
12 mreexfidimd.7 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
1312orcd 874 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
141, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5mreexdomd 17692 . 2 (𝜑𝑆𝑇)
151, 2, 11mrcssidd 17668 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
1615, 8sseqtrrd 4021 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
1712olcd 875 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ∈ Fin ∨ 𝑆 ∈ Fin))
181, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10mreexdomd 17692 . 2 (𝜑𝑇𝑆)
19 sbth 9133 . 2 ((𝑆𝑇𝑇𝑆) → 𝑆𝑇)
2014, 18, 19syl2anc 584 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  cun 3949  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  cen 8982  cdom 8983  Fincfn 8985  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  mrIndcmri 17627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631
This theorem is referenced by:  acsexdimd  18604  lvecdimfi  33646
  Copyright terms: Public domain W3C validator