MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexfidimd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexfidimd 16663
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 16662 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexfidimd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexfidimd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexfidimd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexfidimd.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexfidimd.5 (𝜑𝑆𝐼)
mreexfidimd.6 (𝜑𝑇𝐼)
mreexfidimd.7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
mreexfidimd.8 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
Assertion
Ref Expression
mreexfidimd (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexfidimd
StepHypRef Expression
1 mreexfidimd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mreexfidimd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 mreexfidimd.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 mreexfidimd.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5 mreexfidimd.5 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐼)
63, 1, 5mrissd 16649 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑋)
71, 2, 6mrcssidd 16638 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑆))
8 mreexfidimd.8 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
97, 8sseqtrd 3866 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
10 mreexfidimd.6 . . . 4 (𝜑𝑇𝐼)
113, 1, 10mrissd 16649 . . 3 (𝜑𝑇𝑋)
12 mreexfidimd.7 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
1312orcd 906 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
141, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5mreexdomd 16662 . 2 (𝜑𝑆𝑇)
151, 2, 11mrcssidd 16638 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
1615, 8sseqtr4d 3867 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
1712olcd 907 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ∈ Fin ∨ 𝑆 ∈ Fin))
181, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10mreexdomd 16662 . 2 (𝜑𝑇𝑆)
19 sbth 8349 . 2 ((𝑆𝑇𝑇𝑆) → 𝑆𝑇)
2014, 18, 19syl2anc 581 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3117  cdif 3795  cun 3796  𝒫 cpw 4378  {csn 4397   class class class wbr 4873  cfv 6123  cen 8219  cdom 8220  Fincfn 8222  Moorecmre 16595  mrClscmrc 16596  mrIndcmri 16597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-mri 16601
This theorem is referenced by:  acsexdimd  17536
  Copyright terms: Public domain W3C validator