Theorem mreexfidimd 16663

Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 16662 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexfidimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexfidimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexfidimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexfidimd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexfidimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.7	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
mreexfidimd.8	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
mreexfidimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexfidimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexfidimd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mreexfidimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		mreexfidimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		mreexfidimd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5		mreexfidimd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	3, 1, 5	mrissd 16649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	1, 2, 6	mrcssidd 16638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
8		mreexfidimd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
9	7, 8	sseqtrd 3866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑇))
10		mreexfidimd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
11	3, 1, 10	mrissd 16649	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
12		mreexfidimd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13	12	orcd 906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
14	1, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5	mreexdomd 16662	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)
15	1, 2, 11	mrcssidd 16638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
16	15, 8	sseqtr4d 3867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
17	12	olcd 907	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Fin ∨ 𝑆 ∈ Fin))
18	1, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10	mreexdomd 16662	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≼ 𝑆)
19		sbth 8349	. 2 ⊢ ((𝑆 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≼ 𝑆) → 𝑆 ≈ 𝑇)
20	14, 18, 19	syl2anc 581	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117   ∖ cdif 3795   ∪ cun 3796  𝒫 cpw 4378  {csn 4397   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123   ≈ cen 8219   ≼ cdom 8220  Fincfn 8222  Moorecmre 16595  mrClscmrc 16596  mrIndcmri 16597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-mri 16601

This theorem is referenced by:  acsexdimd  17536