MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexfidimd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexfidimd 16921
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 16920 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexfidimd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexfidimd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexfidimd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexfidimd.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexfidimd.5 (𝜑𝑆𝐼)
mreexfidimd.6 (𝜑𝑇𝐼)
mreexfidimd.7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
mreexfidimd.8 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
Assertion
Ref Expression
mreexfidimd (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexfidimd
StepHypRef Expression
1 mreexfidimd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mreexfidimd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 mreexfidimd.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 mreexfidimd.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5 mreexfidimd.5 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐼)
63, 1, 5mrissd 16907 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑋)
71, 2, 6mrcssidd 16896 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑆))
8 mreexfidimd.8 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
97, 8sseqtrd 3993 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
10 mreexfidimd.6 . . . 4 (𝜑𝑇𝐼)
113, 1, 10mrissd 16907 . . 3 (𝜑𝑇𝑋)
12 mreexfidimd.7 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
1312orcd 870 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
141, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5mreexdomd 16920 . 2 (𝜑𝑆𝑇)
151, 2, 11mrcssidd 16896 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
1615, 8sseqtrrd 3994 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
1712olcd 871 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ∈ Fin ∨ 𝑆 ∈ Fin))
181, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10mreexdomd 16920 . 2 (𝜑𝑇𝑆)
19 sbth 8634 . 2 ((𝑆𝑇𝑇𝑆) → 𝑆𝑇)
2014, 18, 19syl2anc 587 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cdif 3916  cun 3917  𝒫 cpw 4522  {csn 4550   class class class wbr 5052  cfv 6343  cen 8502  cdom 8503  Fincfn 8505  Moorecmre 16853  mrClscmrc 16854  mrIndcmri 16855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-om 7575  df-1o 8098  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-mri 16859
This theorem is referenced by:  acsexdimd  17793  lvecdimfi  31058
  Copyright terms: Public domain W3C validator