Theorem mreexfidimd 17853

Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 17852 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexfidimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexfidimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexfidimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexfidimd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexfidimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.7	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
mreexfidimd.8	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
mreexfidimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑠)   𝑆(𝑦, 𝑧, 𝑠)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑠)

Proof of Theorem mreexfidimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexfidimd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mreexfidimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		mreexfidimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		mreexfidimd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5		mreexfidimd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	3, 1, 5	mrissd 17839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	1, 2, 6	mrcssidd 17828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
8		mreexfidimd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
9	7, 8	sseqtrd 3949	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑇))
10		mreexfidimd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
11	3, 1, 10	mrissd 17839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
12		mreexfidimd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13	12	orcd 887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
14	1, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5	mreexdomd 17852	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)
15	1, 2, 11	mrcssidd 17828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
16	15, 8	sseqtrrd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
17	12	olcd 888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Fin ∨ 𝑆 ∈ Fin))
18	1, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10	mreexdomd 17852	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≼ 𝑆)
19		sbth 9144	. 2 ⊢ ((𝑆 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≼ 𝑆) → 𝑆 ≈ 𝑇)
20	14, 18, 19	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558   ≈ cen 8998   ≼ cdom 8999  Fincfn 9001  Moorecmre 17781  mrClscmrc 17782  mrIndcmri 17783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-om 7902  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-mri 17787

This theorem is used by:  acsexdimd  18762  lvecdimfi  34298