Theorem mreexfidimd 17611

Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 17610 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexfidimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexfidimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexfidimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexfidimd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexfidimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.7	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
mreexfidimd.8	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
mreexfidimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexfidimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexfidimd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mreexfidimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		mreexfidimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		mreexfidimd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5		mreexfidimd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	3, 1, 5	mrissd 17597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	1, 2, 6	mrcssidd 17586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
8		mreexfidimd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
9	7, 8	sseqtrd 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑇))
10		mreexfidimd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
11	3, 1, 10	mrissd 17597	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
12		mreexfidimd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13	12	orcd 873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
14	1, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5	mreexdomd 17610	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)
15	1, 2, 11	mrcssidd 17586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
16	15, 8	sseqtrrd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
17	12	olcd 874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Fin ∨ 𝑆 ∈ Fin))
18	1, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10	mreexdomd 17610	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≼ 𝑆)
19		sbth 9061	. 2 ⊢ ((𝑆 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≼ 𝑆) → 𝑆 ≈ 𝑇)
20	14, 18, 19	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918  Moorecmre 17543  mrClscmrc 17544  mrIndcmri 17545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-mri 17549

This theorem is referenced by:  acsexdimd  18518  lvecdimfi  33591