Theorem mreexfidimd 17693

Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 17692 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexfidimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexfidimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexfidimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexfidimd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexfidimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.7	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
mreexfidimd.8	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
mreexfidimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexfidimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexfidimd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mreexfidimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		mreexfidimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		mreexfidimd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5		mreexfidimd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	3, 1, 5	mrissd 17679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	1, 2, 6	mrcssidd 17668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
8		mreexfidimd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
9	7, 8	sseqtrd 4020	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑇))
10		mreexfidimd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
11	3, 1, 10	mrissd 17679	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
12		mreexfidimd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13	12	orcd 874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
14	1, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5	mreexdomd 17692	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)
15	1, 2, 11	mrcssidd 17668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
16	15, 8	sseqtrrd 4021	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
17	12	olcd 875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Fin ∨ 𝑆 ∈ Fin))
18	1, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10	mreexdomd 17692	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≼ 𝑆)
19		sbth 9133	. 2 ⊢ ((𝑆 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≼ 𝑆) → 𝑆 ≈ 𝑇)
20	14, 18, 19	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983  Fincfn 8985  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  mrIndcmri 17627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631

This theorem is referenced by:  acsexdimd  18604  lvecdimfi  33646