Theorem mreexfidimd 17556

Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 17555 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexfidimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexfidimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexfidimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexfidimd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexfidimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
mreexfidimd.7	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
mreexfidimd.8	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
mreexfidimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexfidimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexfidimd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mreexfidimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		mreexfidimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		mreexfidimd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5		mreexfidimd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	3, 1, 5	mrissd 17542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	1, 2, 6	mrcssidd 17531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
8		mreexfidimd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
9	7, 8	sseqtrd 3972	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑇))
10		mreexfidimd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
11	3, 1, 10	mrissd 17542	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
12		mreexfidimd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13	12	orcd 873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
14	1, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5	mreexdomd 17555	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)
15	1, 2, 11	mrcssidd 17531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
16	15, 8	sseqtrrd 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
17	12	olcd 874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Fin ∨ 𝑆 ∈ Fin))
18	1, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10	mreexdomd 17555	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≼ 𝑆)
19		sbth 9014	. 2 ⊢ ((𝑆 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≼ 𝑆) → 𝑆 ≈ 𝑇)
20	14, 18, 19	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901  𝒫 cpw 4551  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482   ≈ cen 8869   ≼ cdom 8870  Fincfn 8872  Moorecmre 17484  mrClscmrc 17485  mrIndcmri 17486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-mri 17490

This theorem is referenced by:  acsexdimd  18465  lvecdimfi  33568