MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexdomd 17694
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if 𝑆 is independent and contained in the closure of 𝑇, and either 𝑆 or 𝑇 is finite, then 𝑇 dominates 𝑆. This is an immediate consequence of mreexexd 17693. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexdomd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexdomd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexdomd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexdomd.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexdomd.5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
mreexdomd.6 (𝜑𝑇𝑋)
mreexdomd.7 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
mreexdomd.8 (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mreexdomd (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexdomd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexdomd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mreexdomd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 mreexdomd.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 mreexdomd.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5 mreexdomd.8 . . . . 5 (𝜑𝑆𝐼)
63, 1, 5mrissd 17681 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
7 dif0 4384 . . . 4 (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
86, 7sseqtrrdi 4047 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
9 mreexdomd.6 . . . 4 (𝜑𝑇𝑋)
109, 7sseqtrrdi 4047 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
11 mreexdomd.5 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
12 un0 4400 . . . . 5 (𝑇 ∪ ∅) = 𝑇
1312fveq2i 6910 . . . 4 (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)) = (𝑁𝑇)
1411, 13sseqtrrdi 4047 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)))
15 un0 4400 . . . 4 (𝑆 ∪ ∅) = 𝑆
1615, 5eqeltrid 2843 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∪ ∅) ∈ 𝐼)
17 mreexdomd.7 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
181, 2, 3, 4, 8, 10, 14, 16, 17mreexexd 17693 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑇(𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))
19 simprrl 781 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑖)
20 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ∈ 𝒫 𝑇)
2120elpwid 4614 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
221elfvexd 6946 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ V)
2322, 9ssexd 5330 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ V)
24 ssdomg 9039 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2625adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2721, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
28 endomtr 9051 . . 3 ((𝑆𝑖𝑖𝑇) → 𝑆𝑇)
2919, 27, 28syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑇)
3018, 29rexlimddv 3159 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  cen 8981  cdom 8982  Fincfn 8984  Moorecmre 17627  mrClscmrc 17628  mrIndcmri 17629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-mri 17633
This theorem is referenced by:  mreexfidimd  17695
  Copyright terms: Public domain W3C validator