MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexdomd 17692
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if 𝑆 is independent and contained in the closure of 𝑇, and either 𝑆 or 𝑇 is finite, then 𝑇 dominates 𝑆. This is an immediate consequence of mreexexd 17691. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexdomd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexdomd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexdomd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexdomd.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexdomd.5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
mreexdomd.6 (𝜑𝑇𝑋)
mreexdomd.7 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
mreexdomd.8 (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mreexdomd (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexdomd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexdomd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mreexdomd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 mreexdomd.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 mreexdomd.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5 mreexdomd.8 . . . . 5 (𝜑𝑆𝐼)
63, 1, 5mrissd 17679 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
7 dif0 4378 . . . 4 (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
86, 7sseqtrrdi 4025 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
9 mreexdomd.6 . . . 4 (𝜑𝑇𝑋)
109, 7sseqtrrdi 4025 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
11 mreexdomd.5 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
12 un0 4394 . . . . 5 (𝑇 ∪ ∅) = 𝑇
1312fveq2i 6909 . . . 4 (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)) = (𝑁𝑇)
1411, 13sseqtrrdi 4025 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)))
15 un0 4394 . . . 4 (𝑆 ∪ ∅) = 𝑆
1615, 5eqeltrid 2845 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∪ ∅) ∈ 𝐼)
17 mreexdomd.7 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
181, 2, 3, 4, 8, 10, 14, 16, 17mreexexd 17691 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑇(𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))
19 simprrl 781 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑖)
20 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ∈ 𝒫 𝑇)
2120elpwid 4609 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
221elfvexd 6945 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ V)
2322, 9ssexd 5324 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ V)
24 ssdomg 9040 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2625adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2721, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
28 endomtr 9052 . . 3 ((𝑆𝑖𝑖𝑇) → 𝑆𝑇)
2919, 27, 28syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑇)
3018, 29rexlimddv 3161 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  cen 8982  cdom 8983  Fincfn 8985  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  mrIndcmri 17627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631
This theorem is referenced by:  mreexfidimd  17693
  Copyright terms: Public domain W3C validator