Theorem mreexdomd 17610

Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if 𝑆 is independent and contained in the closure of 𝑇, and either 𝑆 or 𝑇 is finite, then 𝑇 dominates 𝑆. This is an immediate consequence of mreexexd 17609. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexdomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexdomd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexdomd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexdomd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexdomd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑇))
mreexdomd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
mreexdomd.7	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
mreexdomd.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mreexdomd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexdomd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexdomd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mreexdomd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		mreexdomd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		mreexdomd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5		mreexdomd.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	3, 1, 5	mrissd 17597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7		dif0 4341	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
8	6, 7	sseqtrrdi 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
9		mreexdomd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
10	9, 7	sseqtrrdi 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
11		mreexdomd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑇))
12		un0 4357	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∪ ∅) = 𝑇
13	12	fveq2i 6861	. . . 4 ⊢ (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)) = (𝑁‘𝑇)
14	11, 13	sseqtrrdi 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)))
15		un0 4357	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∪ ∅) = 𝑆
16	15, 5	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ ∅) ∈ 𝐼)
17		mreexdomd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
18	1, 2, 3, 4, 8, 10, 14, 16, 17	mreexexd 17609	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑇(𝑆 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))
19		simprrl 780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆 ≈ 𝑖)
20		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ∈ 𝒫 𝑇)
21	20	elpwid 4572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ⊆ 𝑇)
22	1	elfvexd 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
23	22, 9	ssexd 5279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
24		ssdomg 8971	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝑖 ⊆ 𝑇 → 𝑖 ≼ 𝑇))
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ⊆ 𝑇 → 𝑖 ≼ 𝑇))
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → (𝑖 ⊆ 𝑇 → 𝑖 ≼ 𝑇))
27	21, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ≼ 𝑇)
28		endomtr 8983	. . 3 ⊢ ((𝑆 ≈ 𝑖 ∧ 𝑖 ≼ 𝑇) → 𝑆 ≼ 𝑇)
29	19, 27, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆 ≼ 𝑇)
30	18, 29	rexlimddv 3140	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≼ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918  Moorecmre 17543  mrClscmrc 17544  mrIndcmri 17545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-mri 17549

This theorem is referenced by:  mreexfidimd  17611