MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexdomd 16912
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if 𝑆 is independent and contained in the closure of 𝑇, and either 𝑆 or 𝑇 is finite, then 𝑇 dominates 𝑆. This is an immediate consequence of mreexexd 16911. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexdomd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexdomd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexdomd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexdomd.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexdomd.5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
mreexdomd.6 (𝜑𝑇𝑋)
mreexdomd.7 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
mreexdomd.8 (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mreexdomd (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexdomd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexdomd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mreexdomd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 mreexdomd.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 mreexdomd.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5 mreexdomd.8 . . . . 5 (𝜑𝑆𝐼)
63, 1, 5mrissd 16899 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
7 dif0 4286 . . . 4 (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
86, 7sseqtrrdi 3966 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
9 mreexdomd.6 . . . 4 (𝜑𝑇𝑋)
109, 7sseqtrrdi 3966 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
11 mreexdomd.5 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
12 un0 4298 . . . . 5 (𝑇 ∪ ∅) = 𝑇
1312fveq2i 6648 . . . 4 (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)) = (𝑁𝑇)
1411, 13sseqtrrdi 3966 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)))
15 un0 4298 . . . 4 (𝑆 ∪ ∅) = 𝑆
1615, 5eqeltrid 2894 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∪ ∅) ∈ 𝐼)
17 mreexdomd.7 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
181, 2, 3, 4, 8, 10, 14, 16, 17mreexexd 16911 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑇(𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))
19 simprrl 780 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑖)
20 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ∈ 𝒫 𝑇)
2120elpwid 4508 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
221elfvexd 6679 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ V)
2322, 9ssexd 5192 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ V)
24 ssdomg 8538 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2625adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2721, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
28 endomtr 8550 . . 3 ((𝑆𝑖𝑖𝑇) → 𝑆𝑇)
2919, 27, 28syl2anc 587 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑇)
3018, 29rexlimddv 3250 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  Vcvv 3441  cdif 3878  cun 3879  wss 3881  c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5030  cfv 6324  cen 8489  cdom 8490  Fincfn 8492  Moorecmre 16845  mrClscmrc 16846  mrIndcmri 16847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-mri 16851
This theorem is referenced by:  mreexfidimd  16913
  Copyright terms: Public domain W3C validator