MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexlem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexexlem3d 16573
Description: Base case of the induction in mreexexd 16575. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexexlem2d.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.6 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.7 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
mreexexlem2d.8 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem3d.9 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
Assertion
Ref Expression
mreexexlem3d (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)

Proof of Theorem mreexexlem3d
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐹 = ∅)
2 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . 9 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 mreexexlem2d.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
76adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
8 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐺 = ∅)
98uneq1d 3927 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = (∅ ∪ 𝐻))
10 uncom 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐻)
11 un0 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = 𝐻
1210, 11eqtr3i 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ 𝐻) = 𝐻
139, 12syl6eq 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = 𝐻)
1413fveq2d 6378 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝑁‘(𝐺𝐻)) = (𝑁𝐻))
157, 14sseqtrd 3800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁𝐻))
16 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
185, 3, 17mrissd 16563 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ 𝑋)
1918unssbd 3952 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻𝑋)
203, 4, 19mrcssidd 16552 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝑁𝐻))
2115, 20unssd 3950 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ (𝑁𝐻))
22 ssun2 3938 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻))
243, 4, 5, 21, 23, 17mrissmrcd 16567 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) = 𝐻)
25 ssequn1 3944 . . . . . . . 8 (𝐹𝐻 ↔ (𝐹𝐻) = 𝐻)
2624, 25sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹𝐻)
27 mreexexlem2d.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2827adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2926, 28ssind 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)))
30 disjdif 4199 . . . . . 6 (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)) = ∅
3129, 30syl6sseq 3810 . . . . 5 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ ∅)
32 ss0b 4134 . . . . 5 (𝐹 ⊆ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3331, 32sylib 209 . . . 4 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 = ∅)
34 mreexexlem3d.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
351, 33, 34mpjaodan 981 . . 3 (𝜑𝐹 = ∅)
36 0elpw 4991 . . 3 ∅ ∈ 𝒫 𝐺
3735, 36syl6eqel 2851 . 2 (𝜑𝐹 ∈ 𝒫 𝐺)
382elfvexd 6409 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
3927difss2d 3901 . . . 4 (𝜑𝐹𝑋)
4038, 39ssexd 4965 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
41 enrefg 8191 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹𝐹)
4240, 41syl 17 . 2 (𝜑𝐹𝐹)
43 breq2 4812 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → (𝐹𝑖𝐹𝐹))
44 uneq1 3921 . . . . 5 (𝑖 = 𝐹 → (𝑖𝐻) = (𝐹𝐻))
4544eleq1d 2828 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → ((𝑖𝐻) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼))
4643, 45anbi12d 624 . . 3 (𝑖 = 𝐹 → ((𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)))
4746rspcev 3460 . 2 ((𝐹 ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
4837, 42, 16, 47syl12anc 865 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054  wrex 3055  Vcvv 3349  cdif 3728  cun 3729  cin 3730  wss 3731  c0 4078  𝒫 cpw 4314  {csn 4333   class class class wbr 4808  cfv 6067  cen 8156  Moorecmre 16509  mrClscmrc 16510  mrIndcmri 16511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-en 8160  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-mri 16515
This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  16574  mreexexd  16575
  Copyright terms: Public domain W3C validator