MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexlem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexexlem3d 17689
Description: Base case of the induction in mreexexd 17691. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexexlem2d.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.6 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.7 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
mreexexlem2d.8 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem3d.9 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
Assertion
Ref Expression
mreexexlem3d (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)

Proof of Theorem mreexexlem3d
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐹 = ∅)
2 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . 9 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 mreexexlem2d.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐺 = ∅)
98uneq1d 4167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = (∅ ∪ 𝐻))
10 uncom 4158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐻)
11 un0 4394 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = 𝐻
1210, 11eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ 𝐻) = 𝐻
139, 12eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = 𝐻)
1413fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝑁‘(𝐺𝐻)) = (𝑁𝐻))
157, 14sseqtrd 4020 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁𝐻))
16 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
185, 3, 17mrissd 17679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ 𝑋)
1918unssbd 4194 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻𝑋)
203, 4, 19mrcssidd 17668 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝑁𝐻))
2115, 20unssd 4192 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ (𝑁𝐻))
22 ssun2 4179 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻))
243, 4, 5, 21, 23, 17mrissmrcd 17683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) = 𝐻)
25 ssequn1 4186 . . . . . . . 8 (𝐹𝐻 ↔ (𝐹𝐻) = 𝐻)
2624, 25sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹𝐻)
27 mreexexlem2d.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2926, 28ssind 4241 . . . . . 6 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)))
30 disjdif 4472 . . . . . 6 (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)) = ∅
3129, 30sseqtrdi 4024 . . . . 5 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ ∅)
32 ss0b 4401 . . . . 5 (𝐹 ⊆ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3331, 32sylib 218 . . . 4 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 = ∅)
34 mreexexlem3d.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
351, 33, 34mpjaodan 961 . . 3 (𝜑𝐹 = ∅)
36 0elpw 5356 . . 3 ∅ ∈ 𝒫 𝐺
3735, 36eqeltrdi 2849 . 2 (𝜑𝐹 ∈ 𝒫 𝐺)
382elfvexd 6945 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
3927difss2d 4139 . . . 4 (𝜑𝐹𝑋)
4038, 39ssexd 5324 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
41 enrefg 9024 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹𝐹)
4240, 41syl 17 . 2 (𝜑𝐹𝐹)
43 breq2 5147 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → (𝐹𝑖𝐹𝐹))
44 uneq1 4161 . . . . 5 (𝑖 = 𝐹 → (𝑖𝐻) = (𝐹𝐻))
4544eleq1d 2826 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → ((𝑖𝐻) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼))
4643, 45anbi12d 632 . . 3 (𝑖 = 𝐹 → ((𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)))
4746rspcev 3622 . 2 ((𝐹 ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
4837, 42, 16, 47syl12anc 837 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  cen 8982  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  mrIndcmri 17627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-en 8986  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631
This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  17690  mreexexd  17691
  Copyright terms: Public domain W3C validator