Theorem mreexexlem3d 17826

Description: Base case of the induction in mreexexd 17828. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexexlem2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexexlem2d.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexexlem2d.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexexlem2d.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexexlem2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝑋 ∖ 𝐻))
mreexexlem2d.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝑋 ∖ 𝐻))
mreexexlem2d.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
mreexexlem2d.8	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem3d.9	⊢ (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))

Assertion

Ref	Expression
mreexexlem3d	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑧, 𝑖, 𝑠)   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑖, 𝑠)   𝐹(𝑦, 𝑧, 𝑠)   𝐺(𝑦, 𝑧, 𝑠)   𝐻(𝑦, 𝑧, 𝑠)   𝐼(𝑦, 𝑧, 𝑠)   𝑁(𝑦, 𝑧, 𝑖, 𝑠)   𝑋(𝑦, 𝑧, 𝑖, 𝑠)

Proof of Theorem mreexexlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹 = ∅)
2		mreexexlem2d.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		mreexexlem2d.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5		mreexexlem2d.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6		mreexexlem2d.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
8		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐺 = ∅)
9	8	uneq1d 4166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → (𝐺 ∪ 𝐻) = (∅ ∪ 𝐻))
10		uncom 4157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐻 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐻)
11		un0 4343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐻 ∪ ∅) = 𝐻
12	10, 11	eqtr3i 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ 𝐻) = 𝐻
13	9, 12	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → (𝐺 ∪ 𝐻) = 𝐻)
14	13	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → (𝑁‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝑁‘𝐻))
15	7, 14	sseqtrd 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘𝐻))
16		mreexexlem2d.8	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼)
18	5, 3, 17	mrissd 17816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐻) ⊆ 𝑋)
19	18	unssbd 4192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
20	3, 4, 19	mrcssidd 17805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝑁‘𝐻))
21	15, 20	unssd 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐻) ⊆ (𝑁‘𝐻))
22		ssun2 4177	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ (𝐹 ∪ 𝐻)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝐹 ∪ 𝐻))
24	3, 4, 5, 21, 23, 17	mrissmrcd 17820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐻) = 𝐻)
25		ssequn1 4184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐻 ↔ (𝐹 ∪ 𝐻) = 𝐻)
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ 𝐻)
27		mreexexlem2d.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝑋 ∖ 𝐻))
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋 ∖ 𝐻))
29	26, 28	ssind 4137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝐻 ∩ (𝑋 ∖ 𝐻)))
30		disjdif 4425	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∩ (𝑋 ∖ 𝐻)) = ∅
31	29, 30	sseqtrdi 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ ∅)
32		ss0b 4350	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
33	31, 32	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = ∅) → 𝐹 = ∅)
34		mreexexlem3d.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
35	1, 33, 34	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∅)
36		0elpw 5316	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐺
37	35, 36	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝒫 𝐺)
38	2	elfvexd 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
39	27	difss2d 4075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝑋)
40	38, 39	ssexd 5285	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
41		enrefg 9015	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ≈ 𝐹)
42	40, 41	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≈ 𝐹)
43		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐹 → (𝐹 ≈ 𝑖 ↔ 𝐹 ≈ 𝐹))
44		uneq1 4160	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐹 → (𝑖 ∪ 𝐻) = (𝐹 ∪ 𝐻))
45	44	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐹 → ((𝑖 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼))
46	43, 45	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐹 → ((𝐹 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹 ≈ 𝐹 ∧ (𝐹 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼)))
47	46	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹 ≈ 𝐹 ∧ (𝐹 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼))
48	37, 42, 16, 47	syl12anc 850	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ 𝐻) ∈ 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539   ≈ cen 8974  Moorecmre 17758  mrClscmrc 17759  mrIndcmri 17760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-en 8978  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-mri 17764

This theorem is used by:  mreexexlem4d  17827  mreexexd  17828