Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexlem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexexlem3d 16911
 Description: Base case of the induction in mreexexd 16913. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexexlem2d.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.6 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.7 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
mreexexlem2d.8 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem3d.9 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
Assertion
Ref Expression
mreexexlem3d (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)

Proof of Theorem mreexexlem3d
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐹 = ∅)
2 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . 9 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 mreexexlem2d.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
76adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
8 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐺 = ∅)
98uneq1d 4089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = (∅ ∪ 𝐻))
10 uncom 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐻)
11 un0 4298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = 𝐻
1210, 11eqtr3i 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ 𝐻) = 𝐻
139, 12eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = 𝐻)
1413fveq2d 6649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝑁‘(𝐺𝐻)) = (𝑁𝐻))
157, 14sseqtrd 3955 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁𝐻))
16 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
1716adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
185, 3, 17mrissd 16901 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ 𝑋)
1918unssbd 4115 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻𝑋)
203, 4, 19mrcssidd 16890 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝑁𝐻))
2115, 20unssd 4113 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ (𝑁𝐻))
22 ssun2 4100 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻))
243, 4, 5, 21, 23, 17mrissmrcd 16905 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) = 𝐻)
25 ssequn1 4107 . . . . . . . 8 (𝐹𝐻 ↔ (𝐹𝐻) = 𝐻)
2624, 25sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹𝐻)
27 mreexexlem2d.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2827adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2926, 28ssind 4159 . . . . . 6 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)))
30 disjdif 4379 . . . . . 6 (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)) = ∅
3129, 30sseqtrdi 3965 . . . . 5 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ ∅)
32 ss0b 4305 . . . . 5 (𝐹 ⊆ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3331, 32sylib 221 . . . 4 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 = ∅)
34 mreexexlem3d.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
351, 33, 34mpjaodan 956 . . 3 (𝜑𝐹 = ∅)
36 0elpw 5221 . . 3 ∅ ∈ 𝒫 𝐺
3735, 36eqeltrdi 2898 . 2 (𝜑𝐹 ∈ 𝒫 𝐺)
382elfvexd 6679 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
3927difss2d 4062 . . . 4 (𝜑𝐹𝑋)
4038, 39ssexd 5192 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
41 enrefg 8526 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹𝐹)
4240, 41syl 17 . 2 (𝜑𝐹𝐹)
43 breq2 5034 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → (𝐹𝑖𝐹𝐹))
44 uneq1 4083 . . . . 5 (𝑖 = 𝐹 → (𝑖𝐻) = (𝐹𝐻))
4544eleq1d 2874 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → ((𝑖𝐻) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼))
4643, 45anbi12d 633 . . 3 (𝑖 = 𝐹 → ((𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)))
4746rspcev 3571 . 2 ((𝐹 ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
4837, 42, 16, 47syl12anc 835 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324   ≈ cen 8491  Moorecmre 16847  mrClscmrc 16848  mrIndcmri 16849 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-en 8495  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-mri 16853 This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  16912  mreexexd  16913
 Copyright terms: Public domain W3C validator