MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexlem3d Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mreexexlem3d 17595
Description: Base case of the induction in mreexexd 17597. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
mreexexlem2d.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
mreexexlem2d.6 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
mreexexlem2d.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
mreexexlem2d.8 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem3d.9 (πœ‘ β†’ (𝐹 = βˆ… ∨ 𝐺 = βˆ…))
Assertion
Ref Expression
mreexexlem3d (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)
Proof of Theorem mreexexlem3d
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹 = βˆ…)
2 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
32adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
4 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
5 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . 9 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
6 mreexexlem2d.7 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐺 = βˆ…)
98uneq1d 4163 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ (𝐺 βˆͺ 𝐻) = (βˆ… βˆͺ 𝐻))
10 uncom 4154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 βˆͺ βˆ…) = (βˆ… βˆͺ 𝐻)
11 un0 4391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 βˆͺ βˆ…) = 𝐻
1210, 11eqtr3i 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… βˆͺ 𝐻) = 𝐻
139, 12eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ (𝐺 βˆͺ 𝐻) = 𝐻)
1413fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)) = (π‘β€˜π»))
157, 14sseqtrd 4023 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜π»))
16 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
185, 3, 17mrissd 17585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) βŠ† 𝑋)
1918unssbd 4189 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐻 βŠ† 𝑋)
203, 4, 19mrcssidd 17574 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐻 βŠ† (π‘β€˜π»))
2115, 20unssd 4187 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) βŠ† (π‘β€˜π»))
22 ssun2 4174 . . . . . . . . . 10 𝐻 βŠ† (𝐹 βˆͺ 𝐻)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐻 βŠ† (𝐹 βˆͺ 𝐻))
243, 4, 5, 21, 23, 17mrissmrcd 17589 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) = 𝐻)
25 ssequn1 4181 . . . . . . . 8 (𝐹 βŠ† 𝐻 ↔ (𝐹 βˆͺ 𝐻) = 𝐻)
2624, 25sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† 𝐻)
27 mreexexlem2d.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
2926, 28ssind 4233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† (𝐻 ∩ (𝑋 βˆ– 𝐻)))
30 disjdif 4472 . . . . . 6 (𝐻 ∩ (𝑋 βˆ– 𝐻)) = βˆ…
3129, 30sseqtrdi 4033 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† βˆ…)
32 ss0b 4398 . . . . 5 (𝐹 βŠ† βˆ… ↔ 𝐹 = βˆ…)
3331, 32sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐺 = βˆ…) β†’ 𝐹 = βˆ…)
34 mreexexlem3d.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 = βˆ… ∨ 𝐺 = βˆ…))
351, 33, 34mpjaodan 956 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = βˆ…)
36 0elpw 5355 . . 3 βˆ… ∈ 𝒫 𝐺
3735, 36eqeltrdi 2840 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝒫 𝐺)
382elfvexd 6931 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
3927difss2d 4135 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝑋)
4038, 39ssexd 5325 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
41 enrefg 8983 . . 3 (𝐹 ∈ V β†’ 𝐹 β‰ˆ 𝐹)
4240, 41syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰ˆ 𝐹)
43 breq2 5153 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 β†’ (𝐹 β‰ˆ 𝑖 ↔ 𝐹 β‰ˆ 𝐹))
44 uneq1 4157 . . . . 5 (𝑖 = 𝐹 β†’ (𝑖 βˆͺ 𝐻) = (𝐹 βˆͺ 𝐻))
4544eleq1d 2817 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 β†’ ((𝑖 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
4643, 45anbi12d 630 . . 3 (𝑖 = 𝐹 β†’ ((𝐹 β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹 β‰ˆ 𝐹 ∧ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)))
4746rspcev 3613 . 2 ((𝐹 ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹 β‰ˆ 𝐹 ∧ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
4837, 42, 16, 47syl12anc 834 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544   β‰ˆ cen 8939  Moorecmre 17531  mrClscmrc 17532  mrIndcmri 17533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-en 8943  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-mri 17537
This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  17596  mreexexd  17597
  Copyright terms: Public domain W3C validator