Theorem acopyeu 27195

Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. Akin to a uniqueness theorem, this states that if two points 𝑋 and 𝑌 both fulfill the conditions, then they are on the same half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
acopy.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
acopyeu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
acopyeu.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
acopyeu.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
acopyeu.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
acopyeu.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
acopyeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
acopyeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)

Assertion

Ref	Expression
acopyeu	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)

Proof of Theorem acopyeu

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑡 𝑥 𝑦 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		acopyeu.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		acopyeu.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
5	4	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
6	5	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		simplr 766	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
8		acopyeu.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		dfcgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		dfcgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16	15	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
17		dfcgra2.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
18		acopy.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
19		dfcgra2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		dfcgra2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		dfcgra2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	25	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	26	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
29	28	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
30		dfcgra2.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
31	30	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
32	31	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
33		acopy.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
34	33	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
35	34	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
36		dfcgra2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38		acopy.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
39	38	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
40		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷)
41	1, 2, 3, 28, 37, 15, 12, 18, 40	hlln 26968	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
42	1, 2, 3, 28, 37, 15, 12, 40	hlne1 26966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ≠ 𝐸)
43	1, 2, 18, 12, 37, 15, 31, 28, 39, 41, 42	ncolncol 27007	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
44	43	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
45		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
46	1, 17, 2, 12, 15, 28, 23, 20, 45	tgcgrcomlr 26841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝑑 − 𝐸) = (𝐴 − 𝐵))
47	46	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
48	47	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
49		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → 𝑢 = 𝑎)
50	49	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))))
51		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → 𝑣 = 𝑏)
52	51	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))))
53	50, 52	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → ((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)))))
54		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑤 = 𝑡)
55		simpll 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑢 = 𝑎)
56		simplr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑣 = 𝑏)
57	55, 56	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → (𝑢𝐼𝑣) = (𝑎𝐼𝑏))
58	54, 57	eleq12d 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣) ↔ 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
59	58	cbvrexdva 3395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
60	53, 59	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣)) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
61	60	cbvopabv 5147	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
62		simpllr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
63		simprll 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩)
64		simprrl 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩)
65	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42	tgelrnln 26991	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝑑𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
66	65	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝑑𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
67	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42	tglinerflx2 26995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
68	67	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐸 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
69	37	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
70		acopyeu.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
71	1, 18, 2, 11, 22, 25, 19, 33	ncolrot2 26924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
72	1, 2, 17, 11, 19, 22, 25, 36, 14, 4, 70, 18, 71	cgrancol 27190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
73	1, 18, 2, 11, 36, 14, 4, 72	ncolcom 26922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
74	73	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑋 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
75		simprlr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋)
76	1, 2, 3, 62, 6, 16, 13, 18, 75	hlln 26968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ∈ (𝑋𝐿𝐸))
77	1, 2, 3, 62, 6, 16, 13, 75	hlne1 26966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ≠ 𝐸)
78	1, 2, 18, 13, 6, 16, 69, 62, 74, 76, 77	ncolncol 27007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
79	1, 18, 2, 13, 16, 69, 62, 78	ncolcom 26922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
80		pm2.45 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
82	1, 2, 18, 11, 36, 14, 30, 38	ncolne1 26986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
83	1, 2, 18, 11, 36, 14, 82	tgelrnln 26991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
84	83	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
85	1, 2, 18, 11, 36, 14, 82	tglinerflx2 26995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
86	85	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
87	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42, 42, 84, 41, 86	tglinethru 26997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
88	87	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
89	81, 88	neleqtrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
90	1, 2, 18, 13, 66, 16, 61, 3, 68, 62, 6, 89, 75	hphl 27132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝑋)
91	87	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
92	91	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
93		acopyeu.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
94	93	ad5antr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
95	92, 94	breqdi 5089	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
96	1, 2, 18, 13, 66, 62, 61, 6, 90, 32, 95	hpgtr 27129	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
97		acopyeu.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
98	1, 2, 17, 11, 19, 22, 25, 36, 14, 8, 97, 18, 71	cgrancol 27190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
99	1, 18, 2, 11, 36, 14, 8, 98	ncolcom 26922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
100	99	ad5antr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
101		simprrr 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)
102	1, 2, 3, 7, 10, 16, 13, 18, 101	hlln 26968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ∈ (𝑌𝐿𝐸))
103	1, 2, 3, 7, 10, 16, 13, 101	hlne1 26966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ≠ 𝐸)
104	1, 2, 18, 13, 10, 16, 69, 7, 100, 102, 103	ncolncol 27007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑦 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
105	1, 18, 2, 13, 16, 69, 7, 104	ncolcom 26922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
106		pm2.45 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
108	107, 88	neleqtrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
109	1, 2, 18, 13, 66, 16, 61, 3, 68, 7, 10, 108, 101	hphl 27132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝑌)
110		acopyeu.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
111	110	ad5antr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
112	92, 111	breqdi 5089	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
113	1, 2, 18, 13, 66, 7, 61, 10, 109, 32, 112	hpgtr 27129	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
114	1, 17, 2, 18, 3, 13, 21, 24, 27, 29, 16, 32, 35, 44, 48, 61, 62, 7, 63, 64, 96, 113	trgcopyeulem 27166	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 = 𝑦)
115	114, 75	eqbrtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑋)
116	1, 2, 3, 7, 6, 16, 13, 115	hlcomd 26965	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑦)
117	1, 2, 3, 6, 7, 10, 13, 16, 116, 101	hltr 26971	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)
118	70	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
119	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 37, 15, 5, 118, 28, 40	cgrahl1 27177	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑋”⟩)
120	1, 2, 18, 11, 19, 22, 25, 33	ncolne1 26986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
121	120	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
122	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 28, 15, 5, 17, 121, 47	iscgra1 27171	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑋”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋)))
123	119, 122	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋))
124	97	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
125	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 37, 15, 9, 124, 28, 40	cgrahl1 27177	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑌”⟩)
126	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 28, 15, 9, 17, 121, 47	iscgra1 27171	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑌”⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
127	125, 126	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))
128		reeanv 3294	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
129	123, 127, 128	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
130	117, 129	r19.29vva 3266	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)
131	120	necomd 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
132	1, 2, 3, 14, 22, 19, 11, 36, 17, 82, 131	hlcgrex 26977	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
133	130, 132	r19.29a 3218	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884   class class class wbr 5074  {copab 5136  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ⟨“cs3 14555  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  cgrGccgrg 26871  hlGchlg 26961  hpGchpg 27118  cgrAccgra 27168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkgld 26813  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-leg 26944  df-hlg 26962  df-mir 27014  df-rag 27055  df-perpg 27057  df-hpg 27119  df-mid 27135  df-lmi 27136  df-cgra 27169

This theorem is referenced by:  tgasa1  27219