Theorem acopyeu 29156

Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. Akin to a uniqueness theorem, this states that if two points 𝑋 and 𝑌 both fulfill the conditions, then they are on the same half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
acopy.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
acopyeu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
acopyeu.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
acopyeu.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
acopyeu.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
acopyeu.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
acopyeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
acopyeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)

Assertion

Ref	Expression
acopyeu	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)

Proof of Theorem acopyeu

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑡 𝑥 𝑦 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		acopyeu.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		acopyeu.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
5	4	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
6	5	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		simplr 780	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
8		acopyeu.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		dfcgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		dfcgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16	15	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
17		dfcgra2.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
18		acopy.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
19		dfcgra2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		dfcgra2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		dfcgra2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	25	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	26	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
29	28	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
30		dfcgra2.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
31	30	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
32	31	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
33		acopy.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
34	33	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
35	34	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
36		dfcgra2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38		acopy.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
39	38	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
40		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷)
41	1, 2, 3, 28, 37, 15, 12, 18, 40	hlln 28890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
42	1, 2, 3, 28, 37, 15, 12, 40	hlne1 28888	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ≠ 𝐸)
43	1, 2, 18, 12, 37, 15, 31, 28, 39, 41, 42	ncolncol 28931	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
44	43	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
45		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
46	1, 17, 2, 12, 15, 28, 23, 20, 45	tgcgrcomlr 28760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝑑 − 𝐸) = (𝐴 − 𝐵))
47	46	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
48	47	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
49		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → 𝑢 = 𝑎)
50	49	eleq1d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))))
51		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → 𝑣 = 𝑏)
52	51	eleq1d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))))
53	50, 52	anbi12d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → ((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)))))
54		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑤 = 𝑡)
55		simpll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑢 = 𝑎)
56		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑣 = 𝑏)
57	55, 56	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → (𝑢𝐼𝑣) = (𝑎𝐼𝑏))
58	54, 57	eleq12d 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣) ↔ 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
59	58	cbvrexdva 3245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
60	53, 59	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣)) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
61	60	cbvopabv 5183	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
62		simpllr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
63		simprll 790	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩)
64		simprrl 792	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩)
65	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42	tgelrnln 28914	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝑑𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
66	65	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝑑𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
67	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42	tglinerflx2 28918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
68	67	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐸 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
69	37	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
70		acopyeu.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
71	1, 18, 2, 11, 22, 25, 19, 33	ncolrot2 28843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
72	1, 2, 17, 11, 19, 22, 25, 36, 14, 4, 70, 18, 71	cgrancol 29151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
73	1, 18, 2, 11, 36, 14, 4, 72	ncolcom 28841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
74	73	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑋 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
75		simprlr 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋)
76	1, 2, 3, 62, 6, 16, 13, 18, 75	hlln 28890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ∈ (𝑋𝐿𝐸))
77	1, 2, 3, 62, 6, 16, 13, 75	hlne1 28888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ≠ 𝐸)
78	1, 2, 18, 13, 6, 16, 69, 62, 74, 76, 77	ncolncol 28931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
79	1, 18, 2, 13, 16, 69, 62, 78	ncolcom 28841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
80		pm2.45 894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
81	79, 80	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
82	1, 2, 18, 11, 36, 14, 30, 38	ncolne1 28909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
83	1, 2, 18, 11, 36, 14, 82	tgelrnln 28914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
84	83	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
85	1, 2, 18, 11, 36, 14, 82	tglinerflx2 28918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
86	85	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
87	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42, 42, 84, 41, 86	tglinethru 28920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
88	87	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
89	81, 88	neleqtrd 2884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
90	1, 2, 18, 13, 66, 16, 61, 3, 68, 62, 6, 89, 75	hphl 29064	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝑋)
91	87	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
92	91	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
93		acopyeu.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
94	93	ad5antr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
95	92, 94	breqdi 5123	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
96	1, 2, 18, 13, 66, 62, 61, 6, 90, 32, 95	hpgtr 29061	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
97		acopyeu.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
98	1, 2, 17, 11, 19, 22, 25, 36, 14, 8, 97, 18, 71	cgrancol 29151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
99	1, 18, 2, 11, 36, 14, 8, 98	ncolcom 28841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
100	99	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
101		simprrr 793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)
102	1, 2, 3, 7, 10, 16, 13, 18, 101	hlln 28890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ∈ (𝑌𝐿𝐸))
103	1, 2, 3, 7, 10, 16, 13, 101	hlne1 28888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ≠ 𝐸)
104	1, 2, 18, 13, 10, 16, 69, 7, 100, 102, 103	ncolncol 28931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑦 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
105	1, 18, 2, 13, 16, 69, 7, 104	ncolcom 28841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
106		pm2.45 894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
107	105, 106	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
108	107, 88	neleqtrd 2884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
109	1, 2, 18, 13, 66, 16, 61, 3, 68, 7, 10, 108, 101	hphl 29064	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝑌)
110		acopyeu.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
111	110	ad5antr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
112	92, 111	breqdi 5123	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
113	1, 2, 18, 13, 66, 7, 61, 10, 109, 32, 112	hpgtr 29061	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
114	1, 17, 2, 18, 3, 13, 21, 24, 27, 29, 16, 32, 35, 44, 48, 61, 62, 7, 63, 64, 96, 113	trgcopyeulem 29127	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 = 𝑦)
115	114, 75	eqbrtrrd 5134	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑋)
116	1, 2, 3, 7, 6, 16, 13, 115	hlcomd 28887	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑦)
117	1, 2, 3, 6, 7, 10, 13, 16, 116, 101	hltr 28893	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)
118	70	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
119	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 37, 15, 5, 118, 28, 40	cgrahl1 29138	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑋”⟩)
120	1, 2, 18, 11, 19, 22, 25, 33	ncolne1 28909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
121	120	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
122	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 28, 15, 5, 17, 121, 47	iscgra1 29132	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑋”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋)))
123	119, 122	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋))
124	97	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
125	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 37, 15, 9, 124, 28, 40	cgrahl1 29138	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑌”⟩)
126	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 28, 15, 9, 17, 121, 47	iscgra1 29132	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑌”⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
127	125, 126	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))
128		reeanv 3236	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
129	123, 127, 128	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
130	117, 129	r19.29vva 3224	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)
131	120	necomd 3012	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
132	1, 2, 3, 14, 22, 19, 11, 36, 17, 82, 131	hlcgrex 28899	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
133	130, 132	r19.29a 3172	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3901   class class class wbr 5108  {copab 5172  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ⟨“cs3 14886  Basecbs 17275  distcds 17325  TarskiGcstrkg 28707  Itvcitv 28713  LineGclng 28714  cgrGccgrg 28790  hlGchlg 28880  hpGchpg 29050  cgrAccgra 29129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-s1 14641  df-s2 14892  df-s3 14893  df-trkgc 28728  df-trkgb 28729  df-trkgcb 28730  df-trkgld 28732  df-trkg 28733  df-cgrg 28791  df-leg 28863  df-hlg 28881  df-mir 28941  df-rag 28985  df-perpg 28987  df-hpg 29051  df-mid 29094  df-lmi 29095  df-cgra 29130

This theorem is used by:  ragraghl  29160  tgasa1  29186