Theorem acopyeu 28889

Description: Angle construction. Theorem 11.15 of [Schwabhauser] p. 98. This is Hilbert's axiom III.4 for geometry. Akin to a uniqueness theorem, this states that if two points 𝑋 and 𝑌 both fulfill the conditions, then they are on the same half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
acopy.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
acopy.1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
acopy.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
acopyeu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
acopyeu.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
acopyeu.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
acopyeu.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
acopyeu.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
acopyeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
acopyeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)

Assertion

Ref	Expression
acopyeu	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)

Proof of Theorem acopyeu

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑡 𝑥 𝑦 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		acopyeu.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		acopyeu.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
5	4	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
6	5	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		simplr 769	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
8		acopyeu.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		dfcgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		dfcgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16	15	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
17		dfcgra2.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
18		acopy.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
19		dfcgra2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		dfcgra2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		dfcgra2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	25	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	26	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
29	28	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
30		dfcgra2.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
31	30	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
32	31	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
33		acopy.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
34	33	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
35	34	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
36		dfcgra2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38		acopy.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
39	38	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
40		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷)
41	1, 2, 3, 28, 37, 15, 12, 18, 40	hlln 28662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
42	1, 2, 3, 28, 37, 15, 12, 40	hlne1 28660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑑 ≠ 𝐸)
43	1, 2, 18, 12, 37, 15, 31, 28, 39, 41, 42	ncolncol 28701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
44	43	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑑 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
45		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
46	1, 17, 2, 12, 15, 28, 23, 20, 45	tgcgrcomlr 28535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝑑 − 𝐸) = (𝐴 − 𝐵))
47	46	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
48	47	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑑 − 𝐸))
49		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → 𝑢 = 𝑎)
50	49	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))))
51		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → 𝑣 = 𝑏)
52	51	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))))
53	50, 52	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → ((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)))))
54		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑤 = 𝑡)
55		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑢 = 𝑎)
56		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → 𝑣 = 𝑏)
57	55, 56	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → (𝑢𝐼𝑣) = (𝑎𝐼𝑏))
58	54, 57	eleq12d 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) ∧ 𝑤 = 𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣) ↔ 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
59	58	cbvrexdva 3218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
60	53, 59	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣)) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
61	60	cbvopabv 5172	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑤 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑤 ∈ (𝑢𝐼𝑣))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑑𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑑𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
62		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
63		simprll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩)
64		simprrl 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩)
65	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42	tgelrnln 28685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝑑𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
66	65	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝑑𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
67	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42	tglinerflx2 28689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
68	67	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐸 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
69	37	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
70		acopyeu.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
71	1, 18, 2, 11, 22, 25, 19, 33	ncolrot2 28618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
72	1, 2, 17, 11, 19, 22, 25, 36, 14, 4, 70, 18, 71	cgrancol 28884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
73	1, 18, 2, 11, 36, 14, 4, 72	ncolcom 28616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
74	73	ad5antr 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑋 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
75		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋)
76	1, 2, 3, 62, 6, 16, 13, 18, 75	hlln 28662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ∈ (𝑋𝐿𝐸))
77	1, 2, 3, 62, 6, 16, 13, 75	hlne1 28660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 ≠ 𝐸)
78	1, 2, 18, 13, 6, 16, 69, 62, 74, 76, 77	ncolncol 28701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
79	1, 18, 2, 13, 16, 69, 62, 78	ncolcom 28616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
80		pm2.45 882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
82	1, 2, 18, 11, 36, 14, 30, 38	ncolne1 28680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
83	1, 2, 18, 11, 36, 14, 82	tgelrnln 28685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
84	83	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
85	1, 2, 18, 11, 36, 14, 82	tglinerflx2 28689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
86	85	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
87	1, 2, 18, 12, 28, 15, 42, 42, 84, 41, 86	tglinethru 28691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
88	87	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸) = (𝑑𝐿𝐸))
89	81, 88	neleqtrd 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
90	1, 2, 18, 13, 66, 16, 61, 3, 68, 62, 6, 89, 75	hphl 28826	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝑋)
91	87	fveq2d 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
92	91	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸)))
93		acopyeu.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
94	93	ad5antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
95	92, 94	breqdi 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
96	1, 2, 18, 13, 66, 62, 61, 6, 90, 32, 95	hpgtr 28823	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
97		acopyeu.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
98	1, 2, 17, 11, 19, 22, 25, 36, 14, 8, 97, 18, 71	cgrancol 28884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
99	1, 18, 2, 11, 36, 14, 8, 98	ncolcom 28616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
100	99	ad5antr 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
101		simprrr 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)
102	1, 2, 3, 7, 10, 16, 13, 18, 101	hlln 28662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ∈ (𝑌𝐿𝐸))
103	1, 2, 3, 7, 10, 16, 13, 101	hlne1 28660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦 ≠ 𝐸)
104	1, 2, 18, 13, 10, 16, 69, 7, 100, 102, 103	ncolncol 28701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑦 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
105	1, 18, 2, 13, 16, 69, 7, 104	ncolcom 28616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ (𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
106		pm2.45 882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
108	107, 88	neleqtrd 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑑𝐿𝐸))
109	1, 2, 18, 13, 66, 16, 61, 3, 68, 7, 10, 108, 101	hphl 28826	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝑌)
110		acopyeu.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
111	110	ad5antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
112	92, 111	breqdi 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
113	1, 2, 18, 13, 66, 7, 61, 10, 109, 32, 112	hpgtr 28823	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦((hpG‘𝐺)‘(𝑑𝐿𝐸))𝐹)
114	1, 17, 2, 18, 3, 13, 21, 24, 27, 29, 16, 32, 35, 44, 48, 61, 62, 7, 63, 64, 96, 113	trgcopyeulem 28860	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑥 = 𝑦)
115	114, 75	eqbrtrrd 5123	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑋)
116	1, 2, 3, 7, 6, 16, 13, 115	hlcomd 28659	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑦)
117	1, 2, 3, 6, 7, 10, 13, 16, 116, 101	hltr 28665	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)
118	70	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
119	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 37, 15, 5, 118, 28, 40	cgrahl1 28871	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑋”⟩)
120	1, 2, 18, 11, 19, 22, 25, 33	ncolne1 28680	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
121	120	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
122	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 28, 15, 5, 17, 121, 47	iscgra1 28865	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑋”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋)))
123	119, 122	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋))
124	97	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
125	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 37, 15, 9, 124, 28, 40	cgrahl1 28871	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑌”⟩)
126	1, 2, 3, 12, 20, 23, 26, 28, 15, 9, 17, 121, 47	iscgra1 28865	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑌”⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
127	125, 126	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌))
128		reeanv 3209	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
129	123, 127, 128	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑥”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝑋) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑌)))
130	117, 129	r19.29vva 3197	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)
131	120	necomd 2988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
132	1, 2, 3, 14, 22, 19, 11, 36, 17, 82, 131	hlcgrex 28671	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑑(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ (𝐸 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
133	130, 132	r19.29a 3145	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3899   class class class wbr 5099  {copab 5161  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ⟨“cs3 14769  Basecbs 17140  distcds 17190  TarskiGcstrkg 28482  Itvcitv 28488  LineGclng 28489  cgrGccgrg 28565  hlGchlg 28655  hpGchpg 28812  cgrAccgra 28862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-s2 14775  df-s3 14776  df-trkgc 28503  df-trkgb 28504  df-trkgcb 28505  df-trkgld 28507  df-trkg 28508  df-cgrg 28566  df-leg 28638  df-hlg 28656  df-mir 28708  df-rag 28749  df-perpg 28751  df-hpg 28813  df-mid 28829  df-lmi 28830  df-cgra 28863

This theorem is referenced by:  tgasa1  28913