Theorem nn0suc 7879

Description: A natural number is either 0 or a successor. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nn0suc	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2961	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2		nnsuc 7868	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
3	1, 2	sylan2br 606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
4	3	ex 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
5	4	orrd 876	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  ∅c0 4288  suc csuc 6351  ωcom 7850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-om 7851

This theorem is referenced by:  nnawordex  8611  nnaordex2  8613  nneneq  9178  php  9179  cantnfvalf  9622  cantnflt  9629  ttrclselem1  9682  ttrclselem2  9683  hsmexlem9  10397  winainflem  10666  bnj517  35185  nnuni  36085