Theorem nn0suc 7895

Description: A natural number is either 0 or a successor. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nn0suc	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2934	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2		nnsuc 7884	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
3	1, 2	sylan2br 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
4	3	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
5	4	orrd 863	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  ∅c0 4313  suc csuc 6359  ωcom 7866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-om 7867

This theorem is referenced by:  nnawordex  8654  nnaordex2  8656  nneneq  9225  php  9226  phpOLD  9236  cantnfvalf  9684  cantnflt  9691  ttrclselem1  9744  ttrclselem2  9745  hsmexlem9  10444  winainflem  10712  bnj517  34921  nnuni  35749