Theorem nn0suc 7906

Description: A natural number is either 0 or a successor. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nn0suc	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2930	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2		nnsuc 7893	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
3	1, 2	sylan2br 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
4	3	ex 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
5	4	orrd 861	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059  ∅c0 4324  suc csuc 6377  ωcom 7875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5432  ax-un 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-om 7876

This theorem is referenced by:  nnawordex  8666  nnaordex2  8668  nneneq  9246  php  9247  nneneqOLD  9258  phpOLD  9259  cantnfvalf  9704  cantnflt  9711  ttrclselem1  9764  ttrclselem2  9765  hsmexlem9  10464  winainflem  10732  bnj517  34686  nnuni  35497