MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttrclselem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttrclselem1 9661
Description: Lemma for ttrclse 9663. Show that all finite ordinal function values of 𝐹 are subsets of 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 31-Oct-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ttrclselem.1 𝐹 = rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ttrclselem1 (𝑁 ∈ ω → (𝐹𝑁) ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑤   𝑅,𝑏,𝑤   𝑋,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤,𝑏)   𝑁(𝑤,𝑏)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem ttrclselem1
Dummy variables 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 7832 . 2 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 = ∅ ∨ ∃𝑛 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑛))
2 ttrclselem.1 . . . . . 6 𝐹 = rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
32fveq1i 6843 . . . . 5 (𝐹𝑁) = (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))‘𝑁)
4 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))‘𝑁) = (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))‘∅))
53, 4eqtrid 2788 . . . 4 (𝑁 = ∅ → (𝐹𝑁) = (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))‘∅))
6 rdg0g 8373 . . . . . 6 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))‘∅) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
7 predss 6261 . . . . . 6 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴
86, 7eqsstrdi 3998 . . . . 5 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))‘∅) ⊆ 𝐴)
9 rdg0n 8380 . . . . . 6 (¬ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))‘∅) = ∅)
10 0ss 4356 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
119, 10eqsstrdi 3998 . . . . 5 (¬ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))‘∅) ⊆ 𝐴)
128, 11pm2.61i 182 . . . 4 (rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))‘∅) ⊆ 𝐴
135, 12eqsstrdi 3998 . . 3 (𝑁 = ∅ → (𝐹𝑁) ⊆ 𝐴)
14 nnon 7808 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On)
15 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑏Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)
16 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑏𝑛
17 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏(𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤))
1817, 15nfrdg 8360 . . . . . . . . . . . 12 𝑏rec((𝑏 ∈ V ↦ 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
192, 18nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝐹
2019, 16nffv 6852 . . . . . . . . . 10 𝑏(𝐹𝑛)
21 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑏Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)
2220, 21nfiun 4984 . . . . . . . . 9 𝑏 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)
23 predeq3 6257 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑡 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
2423cbviunv 5000 . . . . . . . . . 10 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) = 𝑡𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)
25 iuneq1 4970 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝐹𝑛) → 𝑡𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) = 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
2624, 25eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐹𝑛) → 𝑤𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) = 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
2715, 16, 22, 2, 26rdgsucmptf 8374 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ On ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V) → (𝐹‘suc 𝑛) = 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
28 iunss 5005 . . . . . . . . 9 ( 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ⊆ 𝐴)
29 predss 6261 . . . . . . . . . 10 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ⊆ 𝐴
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝐹𝑛) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ⊆ 𝐴)
3128, 30mprgbir 3071 . . . . . . . 8 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ⊆ 𝐴
3227, 31eqsstrdi 3998 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ On ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V) → (𝐹‘suc 𝑛) ⊆ 𝐴)
3314, 32sylan 580 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V) → (𝐹‘suc 𝑛) ⊆ 𝐴)
3415, 16, 22, 2, 26rdgsucmptnf 8375 . . . . . . . 8 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V → (𝐹‘suc 𝑛) = ∅)
3534, 10eqsstrdi 3998 . . . . . . 7 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V → (𝐹‘suc 𝑛) ⊆ 𝐴)
3635adantl 482 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ω ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐹𝑛)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V) → (𝐹‘suc 𝑛) ⊆ 𝐴)
3733, 36pm2.61dan 811 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑛) ⊆ 𝐴)
38 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑁 = suc 𝑛 → (𝐹𝑁) = (𝐹‘suc 𝑛))
3938sseq1d 3975 . . . . 5 (𝑁 = suc 𝑛 → ((𝐹𝑁) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐹‘suc 𝑛) ⊆ 𝐴))
4037, 39syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝑛 ∈ ω → (𝑁 = suc 𝑛 → (𝐹𝑁) ⊆ 𝐴))
4140rexlimiv 3145 . . 3 (∃𝑛 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑛 → (𝐹𝑁) ⊆ 𝐴)
4213, 41jaoi 855 . 2 ((𝑁 = ∅ ∨ ∃𝑛 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑛) → (𝐹𝑁) ⊆ 𝐴)
431, 42syl 17 1 (𝑁 ∈ ω → (𝐹𝑁) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   ciun 4954  cmpt 5188  Predcpred 6252  Oncon0 6317  suc csuc 6319  cfv 6496  ωcom 7802  reccrdg 8355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356
This theorem is referenced by:  ttrclselem2  9662
  Copyright terms: Public domain W3C validator