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Theorem winainflem 10637
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainflem ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem winainflem
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 7836 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧))
2 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
32necon2bi 2971 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4 vex 3451 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
54sucid 6403 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ suc 𝑧
6 eleq2 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑧𝐴𝑧 ∈ suc 𝑧))
75, 6mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = suc 𝑧𝑧𝐴)
87adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝑧𝐴)
9 breq1 5112 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
109rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
11 breq2 5113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
1211cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤)
1310, 12bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
1413rspcv 3579 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
158, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
16 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑤𝐴𝑤 ∈ suc 𝑧))
1716biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = suc 𝑧𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
18173ad2antl2 1187 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
19 nnon 7812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
20 onsuc 7750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ On)
22 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = suc 𝑧 → (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝑧 ∈ On))
2322biimparc 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
2421, 23sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
25243adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ On)
26 onelon 6346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ On)
2725, 26sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ On)
28 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑧 ∈ ω)
2928, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑧 ∈ On)
30 onsssuc 6411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤𝑧𝑤 ∈ suc 𝑧))
3127, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤𝑧𝑤 ∈ suc 𝑧))
3218, 31mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝑧)
33 ssdomg 8946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ V → (𝑤𝑧𝑤𝑧))
344, 32, 33mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝑧)
35 domnsym 9049 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑧 → ¬ 𝑧𝑤)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → ¬ 𝑧𝑤)
3736nrexdv 3143 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ¬ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤)
38373expia 1122 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ¬ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
3915, 38pm2.65d 195 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4039intn3an3d 1482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4140rexlimiva 3141 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧 → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
423, 41jaoi 856 . . . 4 ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
431, 42syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4443con2i 139 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ¬ 𝐴 ∈ ω)
45 ordom 7816 . . 3 Ord ω
46 eloni 6331 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47463ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → Ord 𝐴)
48 ordtri1 6354 . . 3 ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
4945, 47, 48sylancr 588 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
5044, 49mpbird 257 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3447  wss 3914  c0 4286   class class class wbr 5109  Ord word 6320  Oncon0 6321  suc csuc 6323  ωcom 7806  cdom 8887  csdm 8888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-om 7807  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892
This theorem is referenced by:  winainf  10638  tskcard  10725  gruina  10762
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