Theorem winainflem 10608

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 7835	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧))
2		simp1 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
3	2	necon2bi 2964	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
4		vex 3435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	sucid 6395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ suc 𝑧
6		eleq2 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ suc 𝑧))
7	5, 6	mpbiri 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴)
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
9		breq1 5076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑦))
10	9	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦))
11		breq2 5077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑤))
12	11	cbvrexvw 3218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
13	10, 12	bitrdi 288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
14	13	rspcv 3556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
16		eleq2 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
17	16	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = suc 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
18	17	3ad2antl2 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
19		nnon 7813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
20		onsuc 7754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ On)
22		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝑧 ∈ On))
23	22	biimparc 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
24	21, 23	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
25	24	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ∈ On)
26		onelon 6336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
27	25, 26	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
28		simpl1 1198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ω)
29	28, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ On)
30		onsssuc 6403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
31	27, 29, 30	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
32	18, 31	mpbird 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ⊆ 𝑧)
33		ssdomg 8938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ≼ 𝑧))
34	4, 32, 33	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≼ 𝑧)
35		domnsym 9032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ≼ 𝑧 → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
37	36	nrexdv 3134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
38	37	3expia 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
39	15, 38	pm2.65d 197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
40	39	intn3an3d 1489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
41	40	rexlimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧 → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
42	3, 41	jaoi 863	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
43	1, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
44	43	con2i 139	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ 𝐴 ∈ ω)
45		ordom 7817	. . 3 ⊢ Ord ω
46		eloni 6321	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47	46	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → Ord 𝐴)
48		ordtri1 6344	. . 3 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
49	45, 47, 48	sylancr 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
50	44, 49	mpbird 258	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262   class class class wbr 5073  Ord word 6310  Oncon0 6311  suc csuc 6313  ωcom 7807   ≼ cdom 8882   ≺ csdm 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-om 7808  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887

This theorem is referenced by:  winainf  10609  tskcard  10696  gruina  10733