Theorem winainflem 10380

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 7716	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧))
2		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
3	2	necon2bi 2973	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
4		vex 3426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	sucid 6330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ suc 𝑧
6		eleq2 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ suc 𝑧))
7	5, 6	mpbiri 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
9		breq1 5073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑦))
10	9	rexbidv 3225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦))
11		breq2 5074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑤))
12	11	cbvrexvw 3373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
13	10, 12	bitrdi 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
14	13	rspcv 3547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
16		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = suc 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
18	17	3ad2antl2 1184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
19		nnon 7693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
20		suceloni 7635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ On)
22		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝑧 ∈ On))
23	22	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
24	21, 23	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
25	24	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ∈ On)
26		onelon 6276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
27	25, 26	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
28		simpl1 1189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ω)
29	28, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ On)
30		onsssuc 6338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
31	27, 29, 30	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
32	18, 31	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ⊆ 𝑧)
33		ssdomg 8741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ≼ 𝑧))
34	4, 32, 33	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≼ 𝑧)
35		domnsym 8839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ≼ 𝑧 → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
37	36	nrexdv 3197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
38	37	3expia 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
39	15, 38	pm2.65d 195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
40	39	intn3an3d 1479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
41	40	rexlimiva 3209	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧 → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
42	3, 41	jaoi 853	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
43	1, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
44	43	con2i 139	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ 𝐴 ∈ ω)
45		ordom 7697	. . 3 ⊢ Ord ω
46		eloni 6261	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47	46	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → Ord 𝐴)
48		ordtri1 6284	. . 3 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
49	45, 47, 48	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
50	44, 49	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  Ord word 6250  Oncon0 6251  suc csuc 6253  ωcom 7687   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-om 7688  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694

This theorem is referenced by:  winainf  10381  tskcard  10468  gruina  10505