MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winainflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winainflem 10731
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainflem ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem winainflem
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 7917 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧))
2 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
32necon2bi 2969 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
54sucid 6468 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ suc 𝑧
6 eleq2 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑧𝐴𝑧 ∈ suc 𝑧))
75, 6mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = suc 𝑧𝑧𝐴)
87adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝑧𝐴)
9 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
109rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
11 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
1211cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤)
1310, 12bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
1413rspcv 3618 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
158, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
16 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑤𝐴𝑤 ∈ suc 𝑧))
1716biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = suc 𝑧𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
18173ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
19 nnon 7893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
20 onsuc 7831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ On)
22 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = suc 𝑧 → (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝑧 ∈ On))
2322biimparc 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
2421, 23sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
25243adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ On)
26 onelon 6411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ On)
2725, 26sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ On)
28 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑧 ∈ ω)
2928, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑧 ∈ On)
30 onsssuc 6476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤𝑧𝑤 ∈ suc 𝑧))
3127, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤𝑧𝑤 ∈ suc 𝑧))
3218, 31mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝑧)
33 ssdomg 9039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ V → (𝑤𝑧𝑤𝑧))
344, 32, 33mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝑧)
35 domnsym 9138 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑧 → ¬ 𝑧𝑤)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → ¬ 𝑧𝑤)
3736nrexdv 3147 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ¬ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤)
38373expia 1120 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ¬ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
3915, 38pm2.65d 196 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4039intn3an3d 1480 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4140rexlimiva 3145 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧 → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
423, 41jaoi 857 . . . 4 ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
431, 42syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4443con2i 139 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ¬ 𝐴 ∈ ω)
45 ordom 7897 . . 3 Ord ω
46 eloni 6396 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47463ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → Ord 𝐴)
48 ordtri1 6419 . . 3 ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
4945, 47, 48sylancr 587 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
5044, 49mpbird 257 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388  ωcom 7887  cdom 8982  csdm 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-om 7888  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987
This theorem is referenced by:  winainf  10732  tskcard  10819  gruina  10856
  Copyright terms: Public domain W3C validator