Theorem winainflem 10587

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 7827	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧))
2		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
3	2	necon2bi 2955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
4		vex 3440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	sucid 6391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ suc 𝑧
6		eleq2 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ suc 𝑧))
7	5, 6	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
9		breq1 5095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑦))
10	9	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦))
11		breq2 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑤))
12	11	cbvrexvw 3208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
13	10, 12	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
14	13	rspcv 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
16		eleq2 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = suc 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
18	17	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
19		nnon 7805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
20		onsuc 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ On)
22		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝑧 ∈ On))
23	22	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
24	21, 23	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
25	24	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ∈ On)
26		onelon 6332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
27	25, 26	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
28		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ω)
29	28, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ On)
30		onsssuc 6399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
31	27, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
32	18, 31	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ⊆ 𝑧)
33		ssdomg 8925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ≼ 𝑧))
34	4, 32, 33	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≼ 𝑧)
35		domnsym 9020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ≼ 𝑧 → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
37	36	nrexdv 3124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
38	37	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
39	15, 38	pm2.65d 196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
40	39	intn3an3d 1483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
41	40	rexlimiva 3122	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧 → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
42	3, 41	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
43	1, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
44	43	con2i 139	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ 𝐴 ∈ ω)
45		ordom 7809	. . 3 ⊢ Ord ω
46		eloni 6317	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47	46	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → Ord 𝐴)
48		ordtri1 6340	. . 3 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
49	45, 47, 48	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
50	44, 49	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  Ord word 6306  Oncon0 6307  suc csuc 6309  ωcom 7799   ≼ cdom 8870   ≺ csdm 8871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-om 7800  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875

This theorem is referenced by:  winainf  10588  tskcard  10675  gruina  10712