Theorem winainflem 10690

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 7888	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧))
2		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
3	2	necon2bi 2969	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
4		vex 3476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	sucid 6445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ suc 𝑧
6		eleq2 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ suc 𝑧))
7	5, 6	mpbiri 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴)
8	7	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
9		breq1 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑦))
10	9	rexbidv 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦))
11		breq2 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑤))
12	11	cbvrexvw 3233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
13	10, 12	bitrdi 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
14	13	rspcv 3607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
16		eleq2 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
17	16	biimpa 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = suc 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
18	17	3ad2antl2 1184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
19		nnon 7863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
20		onsuc 7801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ On)
22		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝑧 ∈ On))
23	22	biimparc 478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
24	21, 23	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
25	24	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ∈ On)
26		onelon 6388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
27	25, 26	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
28		simpl1 1189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ω)
29	28, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ On)
30		onsssuc 6453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
31	27, 29, 30	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
32	18, 31	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ⊆ 𝑧)
33		ssdomg 8998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ≼ 𝑧))
34	4, 32, 33	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≼ 𝑧)
35		domnsym 9101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ≼ 𝑧 → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
37	36	nrexdv 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
38	37	3expia 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
39	15, 38	pm2.65d 195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
40	39	intn3an3d 1479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
41	40	rexlimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧 → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
42	3, 41	jaoi 853	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
43	1, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
44	43	con2i 139	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ 𝐴 ∈ ω)
45		ordom 7867	. . 3 ⊢ Ord ω
46		eloni 6373	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47	46	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → Ord 𝐴)
48		ordtri1 6396	. . 3 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
49	45, 47, 48	sylancr 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
50	44, 49	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  Ord word 6362  Oncon0 6363  suc csuc 6365  ωcom 7857   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-om 7858  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944

This theorem is referenced by:  winainf  10691  tskcard  10778  gruina  10815