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Theorem winainflem 10687
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainflem ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem winainflem
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 7885 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧))
2 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
32necon2bi 2971 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
54sucid 6446 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ suc 𝑧
6 eleq2 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑧𝐴𝑧 ∈ suc 𝑧))
75, 6mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = suc 𝑧𝑧𝐴)
87adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝑧𝐴)
9 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
109rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
11 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
1211cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤)
1310, 12bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
1413rspcv 3608 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
158, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
16 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑤𝐴𝑤 ∈ suc 𝑧))
1716biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = suc 𝑧𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
18173ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
19 nnon 7860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
20 onsuc 7798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ On)
22 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 = suc 𝑧 → (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝑧 ∈ On))
2322biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
2421, 23sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
25243adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ On)
26 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ On)
2725, 26sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ On)
28 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑧 ∈ ω)
2928, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑧 ∈ On)
30 onsssuc 6454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤𝑧𝑤 ∈ suc 𝑧))
3127, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤𝑧𝑤 ∈ suc 𝑧))
3218, 31mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝑧)
33 ssdomg 8995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ V → (𝑤𝑧𝑤𝑧))
344, 32, 33mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝑧)
35 domnsym 9098 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑧 → ¬ 𝑧𝑤)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤𝐴) → ¬ 𝑧𝑤)
3736nrexdv 3149 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ¬ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤)
38373expia 1121 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ¬ ∃𝑤𝐴 𝑧𝑤))
3915, 38pm2.65d 195 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4039intn3an3d 1481 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4140rexlimiva 3147 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧 → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
423, 41jaoi 855 . . . 4 ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
431, 42syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4443con2i 139 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ¬ 𝐴 ∈ ω)
45 ordom 7864 . . 3 Ord ω
46 eloni 6374 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47463ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → Ord 𝐴)
48 ordtri1 6397 . . 3 ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
4945, 47, 48sylancr 587 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
5044, 49mpbird 256 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ωcom 7854  cdom 8936  csdm 8937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-om 7855  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941
This theorem is referenced by:  winainf  10688  tskcard  10775  gruina  10812
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