Theorem winainflem 10117

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 7608	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧))
2		simp1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
3	2	necon2bi 3048	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
4		vex 3499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	sucid 6272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ suc 𝑧
6		eleq2 2903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ suc 𝑧))
7	5, 6	mpbiri 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴)
8	7	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
9		breq1 5071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑦))
10	9	rexbidv 3299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦))
11		breq2 5072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 ≺ 𝑦 ↔ 𝑧 ≺ 𝑤))
12	11	cbvrexvw 3452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
13	10, 12	syl6bb 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
14	13	rspcv 3620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
16		eleq2 2903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
17	16	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = suc 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
18	17	3ad2antl2 1182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ suc 𝑧)
19		nnon 7588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
20		suceloni 7530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ On)
22		eleq1 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 = suc 𝑧 → (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝑧 ∈ On))
23	22	biimparc 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
24	21, 23	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → 𝐴 ∈ On)
25	24	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ∈ On)
26		onelon 6218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
27	25, 26	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ On)
28		simpl1 1187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ω)
29	28, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ On)
30		onsssuc 6280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
31	27, 29, 30	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ suc 𝑧))
32	18, 31	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ⊆ 𝑧)
33		ssdomg 8557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ≼ 𝑧))
34	4, 32, 33	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≼ 𝑧)
35		domnsym 8645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ≼ 𝑧 → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ≺ 𝑤)
37	36	nrexdv 3272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤)
38	37	3expia 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦 → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑧 ≺ 𝑤))
39	15, 38	pm2.65d 198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
40	39	intn3an3d 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
41	40	rexlimiva 3283	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧 → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
42	3, 41	jaoi 853	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑧 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑧) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
43	1, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
44	43	con2i 141	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ¬ 𝐴 ∈ ω)
45		ordom 7591	. . 3 ⊢ Ord ω
46		eloni 6203	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47	46	3ad2ant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → Ord 𝐴)
48		ordtri1 6226	. . 3 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
49	45, 47, 48	sylancr 589	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
50	44, 49	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  Ord word 6192  Oncon0 6193  suc csuc 6195  ωcom 7582   ≼ cdom 8509   ≺ csdm 8510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-om 7583  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514

This theorem is referenced by:  winainf  10118  tskcard  10205  gruina  10242